求曲线的轨迹方程

前言

相关概念

• 曲线的方程[数的刻画]和方程的曲线[形的刻画]

注意纯粹性和完备性；

• 求轨迹方程的一般步骤[在直角坐标系下和极坐标系下都是一样的]

①建立坐标系，用((x，y))表示曲线上的任意一点(M)的坐标；

②写出适合条件(p)的点(M)的集合(P={M|p(M)})；

③用坐标表示条件(p(M))，列出方程(f(x，y)=0)，并化简；

④查缺补漏，并完善；

注意事项

求轨迹和求轨迹方程是不一样的，求轨迹方程只需要写出其方程即可，若是求轨迹，除过写出方程外，还需要说明轨迹的样子，比如圆需要说明圆心和半径，椭圆需要说明中心和长轴与短轴等。

常见方法

• 直接法

若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需要直接将这种关系“翻译成”动点的坐标((x，y))的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其一般步骤为：建系(Rightarrow)设点(Rightarrow)列式(Rightarrow)代换(Rightarrow)化简(Rightarrow)检验。

• 定义法

若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程。近年考试常常和圆锥曲线的定义结合很紧密，故需要特别注意。

• 待定系数法

当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程。

• 相关点法[代入法]

将未知曲线上的动点坐标(P(x，y))用已知曲线上的动点坐标(P_0(x_0，y_0))表示，反解得到(x_0=f(x))，(y_0=g(y))，然后将其代入已知曲线方程中，整理得到的方程即为待求曲线的轨迹方程，这一方法就叫相关点法，也叫代入法。

• 参数法

如果轨迹动点(P(x，y))的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将(x)，(y)用一个或者几个参数来表示，然后消去参数可得到轨迹方程，此法称为参数法，用参数法求轨迹方程需要注意参数的范围对方程的影响。

例1以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线(C)的极坐标方程为( ho=4cos heta)，曲线(M)的直角坐标方程为(x-2y+2=0(x>0))，以曲线(M)上的点与点(O)连线的斜率为参数，写出曲线(M)的参数方程；

分析：由(left{egin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\{y=kx②}end{array} ight.)

解方程，消去(y)，解得(x=cfrac{2}{2k-1})，代入②得到，(y=cfrac{2k}{2k-1})，由(x=cfrac{2}{2k-1}>0)，得到(k>cfrac{1}{2})

故曲线(M)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{2}{2k-1}}\{y=cfrac{2k}{2k-1}}end{array} ight.) ((k)为参数，(k>cfrac{1}{2}))

• 点差法

涉及到中点坐标有关的问题求轨迹方程，可以考虑用点差法；

• 交轨法

交轨法是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法之一。首先选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，然后得到不含参数的方程，此方程即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法[交点轨迹法]。

例1求两条直线(x-my-1=0)和(mx+y-1=0)的交点的轨迹方程。

法1：参数方程法，首先联立两个方程，得到(left{egin{array}{l}{x-my-1=0①}\{mx+y-1=0②}end{array} ight.)

给②式乘以(m)，消(y)得到，(x=cfrac{m+1}{m^2+1})，代入②式得到(y=cfrac{1-m}{m^2+1})

即交点轨迹的参数方程为

[left{egin{array}{l}{x=cfrac{m+1}{m^2+1}}\{y=cfrac{1-m}{m^2+1}}end{array} ight.quad (m为参数) ]

或者说我们就可以用参数方法来回答这个问题。

不过我们还是继续完成接下来的任务，重点和难点是消参。

(left{egin{array}{l}{x=cfrac{m+1}{m^2+1}①}\{y=cfrac{1-m}{m^2+1}②}end{array} ight.quad (m为参数))，如何消参，

给①^2+②^2，得到(x^2+y^2=cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=cfrac{2}{m^2+1})，

又(x+y=cfrac{2}{m^2+1})，故(x^2+y^2-x-y=0)。

又当(x=0)且(y=0)时，(m)不存在，

故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。

法2：交轨法，将两个方程分别变形为(my=x-1)和(mx=1-y)，

当(m=0)时，两个方程不能相除，此时得到两个直线的交点为((1，1))；

当(m eq 0)时，两式相除得到(cfrac{my}{mx}=cfrac{x-1}{1-y})，即(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，

变形为(y(1-y)=x^2-x)，整理为(x^2+y^2-x-y=0)，即((x-frac{1}{2})^2+(y-frac{1}{2})^2=cfrac{1}{2})

再分别验证点((1，1))和点((0，1))和点((1，0))都在上述曲线上，但是点((0，0))不应该在轨迹曲线上，

[为什么验证这四个点，原因是由(cfrac{y}{x}=cfrac{x-1}{1-y})，两个横行即分子分母都为零，得到点((0，1))和((1，0))，两个竖行都为零，得到点点((0，0))和((1，1))，]

故所求的轨迹方程为(x^2+y^2-x-y=0(x eq0且y eq 0))。

• 特殊化策略

个别涉及选择类型题目的轨迹方程的求法，可以使用特殊化策略。

典例剖析

例1【直接法】【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第21题】已知点(A(-2，0))，(B(-2，0))，动点(M(x，y))满足直线(AM)与(BM)的斜率之积为(-cfrac{1}{2})，记(M)的轨迹为曲线(C)。

(1).求(C)的方程，并说明(C)是什么曲线；

分析：本题目可以用直接法得到曲线的方程，难点是要注意到不是恒等变形，需要添加条件。

解析：由于(k_{AM}=cfrac{y}{x+2})，(k_{BM}=cfrac{y}{x-2})，由题可知，(k_{AM}cdot k_{BM}=-cfrac{1}{2})，

化简得到(x^2+2y^2=4)，再整理为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{2}=1)，

[此时，务必要注意，我们是将分式形式转化为整式形式，这一过程有去分母的变形，一定会扩大字母的取值范围，故需要添加条件才能保证变形前后是恒等变形，以此题为例，由于有分母，故需要(|x| eq 2)，或者对应到(y)值加以限制也是可以的，比如(y eq 0)]，

即曲线(C)的方程为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{2}=1(|x| eq 2))，或者(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{2}=1(y eq 0))，所以(C)为中心在坐标原点，焦点在(x)轴上的椭圆，且不含左右顶点。

例2【定义法】已知圆(M：(x+1)^2+y^2=1)，圆(N：(x-1)^2+y^2=9)，动圆(P)与圆(M)外切并且与圆(N)内切，圆心(P)的轨迹方程为曲线(C)。

(1)、求(C)的方程；

分析：由已知得，圆(M)的圆心为(M(-1，0))，半径(r_1=1)；

圆(N)的圆心为(N(1，0))，半径(r_2=3)；

设圆(P)的圆心为(P(x，y))，半径为(R)；

由于圆(P)与圆(M)外切并且与圆(N)内切，

所以(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4)，

由[椭圆的定义]可知，曲线(C)是以(M)，(N)为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为(sqrt{3})的椭圆(左顶点除外)，

其轨迹方程为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1(x eq -2))。

(2)、(l)是与圆(P)，圆(M)都相切的一条直线，(l)与曲线(C)交于(A)，(B)两点，当圆(P)的半径最长时，求(|AB|)；

待整理。

例3【点差法】已知椭圆(cfrac{x^2}{2}+y^2=1)，求斜率为(2)的平行弦的中点的轨迹方程。

解：设弦的两个端点分别为(P(x_1，y_1)，Q(x_2，y_2))，(PQ)的中点为(M(x，y))，

则有(cfrac{x_1^2}{2}+y_1^2=1)①，(cfrac{x_2^2}{2}+y_2^2=1)②，

①-②得到，(cfrac{x_1^2-x_2^2}{2}+y_1^2-y_2^2=0)

则有(cfrac{x_1+x_2}{2}+cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(y_1+y_2)=0)

又由于(x_1+x_2=2x)，(y_1+y_2=2y)，(cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=2)，

代入上式，得到(x+4y=0)，

又由于弦中点在椭圆内，故所求的弦中点的轨迹方程为(x+4y=0)(在已知椭圆内)。

例4【参数方程法】已知过原点的动直线(l)与圆(C_1：x^2+y^2-6x+5=0)相交于不同的两点(A，B)，

(1)、求直线(l)的斜率(k)的取值范围；

分析：圆的标准方程为((x-3)^2+y^2=2^2)，

故圆心坐标(C_1(3，0))，半径为(r=2)，

设直线(l)的方程为(y=kx)，即(kx-y=0)，

则圆心(C_1)到直线(l)的距离(d=cfrac{|3k|}{sqrt{k^2+1}}< 2)，

解得(-cfrac{2sqrt{5}}{5}< k< cfrac{2sqrt{5}}{5})；

(2)、求线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程。

分析【法1】：设直线(AB)的方程为(y=kx)，点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))

与圆(C_1)联立，消(y)得到，((1+k^2)x^2-6x+5=0)，

由(Delta =(-6)^2-4 imes 5(1+k^2)>0)，可得(k^2<cfrac{4}{5})，

由韦达定理可得，(x_1+x_2=cfrac{6}{1+k^2})，

则线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{3}{1+k^2}①}\{y=cfrac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.)，其中(-cfrac{2sqrt{5}}{5}<k<cfrac{2sqrt{5}}{5})，

如何消参数呢？两式相比，得到(y=kx)，即(k=cfrac{y}{x})，

代入①变形整理后得到，((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，

又由于(k^2<cfrac{4}{5})，得到(cfrac{5}{3}<xleq 3)，

故线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程为((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，其中(cfrac{5}{3}<xleq 3)。

【法2】有空，再思考补充 点差法。

思路补记：((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2))。

例5【相关点法】在直角坐标系(xoy)中，以坐标原点为极点，(x)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_1)的方程为( ho( ho-4sin heta)=12)，定点(A(6，0))，点(P)是(C_1)上的动点，(Q)为(AP)的中点，求点(Q)的轨迹(C_2)的直角坐标方程；

分析：将曲线(C_1)的极坐标方程化为直角坐标方程为(x^2+y^2-4y=12)，

设点(P(x'，y'))，点(Q(x，y))，由(Q)为(AP)的中点，得到(egin{cases}x'=2x-6\y'=2yend{cases})，

代入(x^2+y^2-4y=12)，

得到点(Q)的轨迹(C_2)的直角坐标方程为((x-3)^2+(y-1)^2=4)；

例5平面直角坐标系(xoy)中，若动圆与圆((x-2)^2+y^2=1)外切，且又与直线(x+1=0)相切，则动圆圆心的轨迹方程为【】

$A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$

法1：直接法，如图所示，动圆的圆心为点(P(x,y))，则有(|PN|=|PM|+1)，

即(sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=|x+1|+1)，由于动圆在直线(x+1=0)的右侧，即(x+1>0)，

故化简得到(sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=x+1+1)，整理得到(y^2=8x)，故选(A)；

法2：定义法，转化为能利用抛物线的定义来求解，其定义是说动点到定点的距离等于其到定直线的距离，

这样定点取((2，0))，此时定直线必须取(x=-2)，

这样抛物线的标准方程为(y^2=2px(p>0))，且(cfrac{p}{2}=2)，即(p=4)，

故抛物线的标准方程为(y^2=8x)，故选(A)。

例5【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第8题】平面直角坐标系(xoy)中，动点(P)与圆((x-2)^2+y^2=1)上的点的最短距离与其到直线(x=-1)的距离相等，则点(P)的轨迹方程为【】

$A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$

分析：由题意可知，(|PQ|=|PD|)，但是用这个不好建立轨迹方程，或者不能有效的和抛物线的定义建立联系，

故等价转化为(|PA|=|PB|)，且其模型为(y^2=2px)。

这样就可以理解为平面内一个动点(P)到一个定点(A)的距离等于其到定直线(x=-2)的距离。

由抛物线的定义可知，(-cfrac{p}{2}=-2)，即(p=4)，故(y^2=2 imes 4x=8x)，故选(A)。

• 注意：抛物线的定义是高考考查时的高频考点。

例6【特殊化策略解决选择题】设椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))上的动点(Q)，过动点(Q)做椭圆的切线(l)，过右焦点做(l)的垂线交(l)于点(P)，则点(P)的轨迹方程为【】

$A.x^2+y^2=a^2$ $B.x^2+y^2=b^2$ $C.x^2+y^2=c^2$ $D.x^2+y^2=e^2$

分析：由于点(Q)是椭圆上的任意一个动点，不妨取其在椭圆的四个特殊位置来思考；

当点(Q(a，0))时，过动点(Q)做椭圆的切线(l：x=a)，过右焦点做(l)的垂线为(y=0)，则点(P(a，0))，代入验证，只有选项(A)满足；

当点(Q(0，b))时，过动点(Q)做椭圆的切线(l：y=b)，过右焦点做(l)的垂线为(x=c)，则点(P(c，b))，代入验证，也只有选项(A)满足；

故用特殊化策略可知，选(A)。

解后反思：如果本题目直接求解，可能会很麻烦，由此也体现出特殊化策略在解选择题时的便捷性。