利用单调性求三角函数参数的取值范围

前言

典例剖析

• 情形一：参数含在函数解析式中，给定区间不含参数；

若函数(y=2sinomega x+1(omega>0))在区间(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])上是增函数，求(omega)的取值范围。

分析：由于函数 (y=2sinomega x+1(omega>0)) 的单调性和 函数 (y=sinomega x(omega>0)) 的单调性是一致的，由此我们对已知的函数先做减法，去掉干扰因素[函数后边的(+1)，函数前边的系数变为(1)，注意此系数只能变为正的，不能变为负值]，故研究主干函数 (y=sinomega x(omega>0)) 在区间(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])上是增函数，解析如下：

法1：子集法，用传统方法求得(f(x))的带有参数 (omega) 的单增区间，

令(2kpi-cfrac{pi}{2}leq omega xleq 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

解得(cfrac{2kpi}{omega}-cfrac{pi}{2omega} leq x leq cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{pi}{2omega}(kin Z))

即(f(x))的单增区间是(left[cfrac{2kpi}{omega}-cfrac{pi}{2omega}，cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{pi}{2omega} ight](kin Z))，

令(k=0)，得到距离原点左右两侧最近的单调递增区间是 (left[-cfrac{pi}{2omega}，cfrac{pi}{2omega} ight])，

又由于(f(x)) 在区间(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])上单调递增，即 (left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight]subseteq left[-cfrac{pi}{2omega}，cfrac{pi}{2omega} ight])，

这样就转化为不等式组，即(egin{cases} -cfrac{pi}{2}ge -cfrac{pi}{2omega}\ cfrac{2pi}{3}leq cfrac{pi}{2omega} end{cases}) ，

所以(omegaleq cfrac{3}{4})，又(omega >0)，故(omegain left(0，cfrac{3}{4} ight])。

〔解后总结〕：子集法，求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；

法2：反子集法，(ecause omega>0，xin left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight] herefore omega x in left[-cfrac{piomega}{2}，cfrac{2piomega}{3} ight])，

又模板函数(y=sinx)在原点左右的单调递增区间是([-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])，将(omega x)视为一个整体，

由(f(x))在(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])上单调递增，故(left[-cfrac{piomega}{2}，cfrac{2piomega}{3} ight]subseteq left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2} ight])

( herefore egin{cases} -cfrac{piomega}{2}ge -cfrac{pi}{2} \ cfrac{2piomega}{3}leq cfrac{pi}{2} end{cases})，又(omega >0)，故(omegain left(0，cfrac{3}{4} ight])。

〔易错解法〕：(ecause omega>0，xin left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight] herefore omega x in left[-cfrac{piomega}{2}，cfrac{2piomega}{3} ight])，

由(f(x))在(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])上单调递增，故(left[-cfrac{piomega}{2}，cfrac{2piomega}{3} ight]subseteq left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])这一步转化是错误的，由于题目仅仅说在区间 ([-cfrac{pi}{2}) , (cfrac{2pi}{3}]) 上单调递增，并没有说区间 ([-cfrac{pi}{2}) , (cfrac{2pi}{3}]) 是最大的单调递增区间，故这样的转化往往会多出参数的取值范围，或少了参数的取值范围；

( herefore egin{cases} -cfrac{piomega}{2}ge -cfrac{pi}{2}\cfrac{2piomega}{3}leq cfrac{2pi}{3} end{cases})，解得(omegaleq 1)，又(omega >0)，故得到错误的解集为(omegain left(0，1 ight])。

〔解后总结〕：反子集法，由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；

法3：周期性法，由题目可知， (f(x)) 在区间(left[-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3} ight])单调递增，

[备注：由于函数(y=2sinomega x+1(omega>0))中的 (+1) 和乘以 (2) 倍，都是作用在 (y) 轴方向，而单调区间是在 (x) 轴方向，两个方向是互相垂直的，故互不影响，因此我们可以通过只研究函数 (y=sinomega x) 的单调性来达到目的，这样求解就简单的多了]

而函数(y=sinomega x)的距离原点最近的单调递增区间为(left[-cfrac{pi}{2omega}，cfrac{pi}{2omega} ight])，其内部包含的对称中心就是原点 ((0,0))，

因此必须满足：原点到(-cfrac{pi}{2}，cfrac{2pi}{3}) 的距离不超过 (cfrac{T}{4})，

即( herefore egin{cases} 0-(-cfrac{pi}{2})leqcfrac{T}{4}\ cfrac{2pi}{3}-0leq cfrac{T}{4}end{cases})，

故(Tgeqcfrac{8pi}{3})，即(T=cfrac{2pi}{omega} ge cfrac{8pi}{3})，又(omega >0)，故(omegain left(0，cfrac{3}{4} ight])。

〔解后总结〕：周期性法，由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过(cfrac{1}{4})周期，列不等式(组)求解；

〔解后反思〕：本题目的同类题目：函数(y=2)(sin)(omega)(x)(+)(1)((omega>0))在区间([-cfrac{pi}{2})，(cfrac{2pi}{3}])上是减函数，求(omega)的取值范围。

等价命题1：函数(y=2)(cdot)(sin)(omega)(x)((omega>0))在区间([-cfrac{pi}{2})，(cfrac{2pi}{3}])上是增函数，求(omega)的取值范围。

等价命题2：函数(y=)(sin)(omega)(x)((omega>0))在区间([-cfrac{pi}{2})，(cfrac{2pi}{3}])上是增函数，求(omega)的取值范围。

【2022届高三一轮复习用题】已知 (omega>0)，若函数(f(x)=sin(omega x+cfrac{pi}{4})) 在区间(left[cfrac{pi}{2}，pi ight])上单调递减，则(omega)的取值范围是【(qquad)】

$A.left[cfrac{1}{2}, cfrac{5}{4} ight]$ $B.left[cfrac{1}{2}, cfrac{3}{4} ight]$ $C.left[0, cfrac{1}{2} ight]$ $D.left(0,2 ight]$

法1：子集法，用传统方法求得(f(x))的带有参数 (omega) 的单减区间，

令(2kpi+cfrac{pi}{2}leq omega x+cfrac{pi}{4}leq 2kpi+cfrac{3pi}{2}(kin Z))，

解得(cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{pi}{4omega}leq x leq cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{5pi}{4omega}(kin Z))

即(f(x))的单减区间是(left[cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{pi}{4omega}，cfrac{2kpi}{omega}+cfrac{5pi}{4omega} ight](kin Z))，

令(k=0)此处为什么必须令(k=0)，能不能令(k=1)呢，回答是不能。若令(k=1)，仿照上述方法可以解得，(omegageqslant cfrac{9}{2}) 且(omegaleqslant cfrac{13}{4})，其交集为空集，说明这样的(omega)不存在。若令(k=2)等等其他的值，也是同样的空集的结果；，得到距离原点右侧最近的单调递减区间是(left[cfrac{pi}{4omega}，cfrac{5pi}{4omega} ight])，

又由于(f(x)) 在区间(left[cfrac{pi}{2}，pi ight])上单调递减，即 (left[cfrac{pi}{2}，pi ight]subseteq left[cfrac{pi}{4omega}，cfrac{5pi}{4omega} ight])，

这样就转化为不等式组，即(egin{cases} cfrac{pi}{2}geq cfrac{pi}{4omega}\ pileq cfrac{5pi}{4omega} end{cases}) ，

所以(cfrac{1}{2}leqomegaleq cfrac{5}{4})，故(omegain left(cfrac{1}{2} ，cfrac{5}{4} ight])，故选 (A) .

法2：反子集法，由 (cfrac{pi}{2} leqslant x leqslant pi)， 得 (cfrac{pi}{2} omega+cfrac{pi}{4} leqslant omega x+cfrac{pi}{4} leqslant pi omega+cfrac{pi}{4})，

由题意 (left[cfrac{pi}{2} omega+cfrac{pi}{4}, pi omega+cfrac{pi}{4} ight] subseteqleft[2kpi+cfrac{pi}{2}, 2kpi+cfrac{3pi}{2} ight](k in Z))，

当 (k=0)时， 由 (left{egin{array}{l}cfrac{pi}{2}omega+cfrac{pi}{4} geqslant cfrac{pi}{2} \piomega+cfrac{pi}{4} leqslant cfrac{3 pi}{2},end{array} ight.)

解得 (cfrac{1}{2} leqslant omega leqslant cfrac{5}{4})，故选 (A) .

〔易错解法〕：由 (cfrac{pi}{2} leqslant x leqslant pi)， 得 (cfrac{pi}{2} omega+cfrac{pi}{4} leqslant omega x+cfrac{pi}{4} leqslant pi omega+cfrac{pi}{4})，

函数(f(x)=sin(omega x+cfrac{pi}{4})) 在区间 (left[cfrac{pi}{2}，pi ight]) 上单调递减区间([cfrac{pi}{2}，pi])不一定是函数的单调递减区间，只是单调递减区间的子集；，

当 (k=0)时， 由 (left{egin{array}{l}cfrac{pi}{2}omega+cfrac{pi}{4} geqslant cfrac{pi}{2} \piomega+cfrac{pi}{4} leqslant pi,end{array} ight.)

解得 (cfrac{1}{2} leqslant omega leqslant cfrac{3}{4})，则错选 (B)，而正确答案是 (A) .

法3：周期性法，由上法得到距离原点右侧最近的单调递减区间是(left[cfrac{pi}{4omega}，cfrac{5pi}{4omega} ight])，

其内部包含的对称中心为((cfrac{3pi}{4omega},0))，因此必须满足：对称中心到(cfrac{pi}{2})，(pi) 的距离不超过 (cfrac{T}{4})，

即 (left{egin{array}{l}cfrac{3pi}{4omega}-cfrac{pi}{2}leqslant cfrac{T}{4} \pi-cfrac{3pi}{4omega}leqslant cfrac{T}{4},end{array}, ight.) 即 (left{egin{array}{l}cfrac{3pi}{4omega}-cfrac{pi}{2}leqslant cfrac{2pi}{4omega} \pi-cfrac{3pi}{4omega}leqslantcfrac{2pi}{4omega},end{array} ight.)

解得 (cfrac{1}{2} leqslant omega leqslant cfrac{5}{4})，故选 (A) .

• 情形二：解析式中不含参，参数含在给定区间内；

【2021河南新乡一模】【2022届高三一轮复习用题】若函数 (f(x)=sin x+sqrt{3}cos x) 在 ([t, 3t]) 上是减函数， 则实数 (t) 的取值范围是【(qquad)】

$A.left[cfrac{pi}{6},cfrac{7pi}{6} ight]$ $B.left[cfrac{pi}{12},cfrac{7pi}{18} ight]$ $C.left[cfrac{pi}{6},cfrac{7pi}{18} ight]$ $D.left[cfrac{pi}{6},pi ight]$

解析 : (f(x)=sin x+sqrt{3}cos x=2sinleft(x+cfrac{pi}{3} ight)) 的递减区间是 (left(cfrac{pi}{6}+2kpi, cfrac{7pi}{6}+2kpi ight))，(k in Z)，

又由 (t<3t) 得 (t>0)， 由(3t-t<pi)单调递减区间的宽度为 (pi)，故(3t)(-)(t)的宽度要小于 (pi)得 (0<t<cfrac{pi}{2})，

所以 ([t, 3t]subseteqleft[cfrac{pi}{6}, cfrac{7pi}{6} ight]), 即 (tgeqslantcfrac{pi}{6})， (3tleqslantcfrac{7pi}{6})，

解得 (cfrac{pi}{6} leqslant t leqslant cfrac{7pi}{18})， 故选 (C) .