指数对数以及根式的运算

前言

学生的运算能力中尤其时涉及指数和对数的运算的功底比较弱，需要特别强化。

运算训练

• 1、各种不等式的解法；

• 2、不等式解法训练题；

• 3、分式不等式习题；

常用结论

(log_abcdot log_ba=1)；((2+sqrt{3})(2-sqrt{3})=1)；((sqrt{3}+sqrt{2})(sqrt{3}-sqrt{2})=1)；(lg2+lg5=lg10=1)；

指数运算

公式：(a^mcdot a^n=a^{m+n})；((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn})；((acdot b)^n=a^ncdot b^n)；

注意：字母(a、b)的内涵；数，式都可以，且(m，nin R)；

应用层次一：为换元和化简做准备，常涉及复合函数的值域问题和数列的化简求值等。

$4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$；

$9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2$；

$2^x+2^x=2^{x+1}$；

$2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}$；

$2^{x+1}-2^x=2^xcdot 2-2^x=2^x$；

$2^{x+1}+2^x=3cdot 2^x$；

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}cdot 2=2^{-n}$；

$2^ncdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}=frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}cdot 2^n=2^{2n+1};$

(2^{n+2}-(2n+1)cdot 2^{n+1}=2cdot 2^{n+1}-(2n+1)cdot 2^{n+1}=(1-2n)cdot 2^{n+1})

应用层次二：为整体换元和化简、计算做准备。

引例[初中]已知(x+x^{-1}=3)，求值：

$x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}}=sqrt{5}$；

$x^{frac{3}{2}}+x^{-frac{3}{2}}=2sqrt{5}$；

$x^2+x^{-2}=7$；

例[高中]若命题(“exists xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，sqrt{2})$ $B.(-infty，2sqrt{2}]$ $C.(0，sqrt{2}]$ $D.(2sqrt{2}，+infty)$

分析：选(B)；

引例[初中]已知(2^a=3)，(4^b=5)，(8^c=7)，求(8^{a+c-2b})的值；

法1：(8^{a+c-2b}=frac{8^acdot 8^c}{8^{2b}}=frac{(2^a)^3cdot 8^c}{2^{2b}cdot (4^b)^2}=frac{189}{125})；

法2：(a=log_23)，(b=log_45)，(c=log_87)，

则(8^{a+c-2b}=frac{8^acdot 8^c}{8^{2b}}=frac{(2^3)^{log_23}cdot 8^c}{(8^b)^2}=frac{3^3 imes 7}{[(2^3)^{frac{1}{2}log_25}]^2})

(=frac{3^3 imes 7}{2^{3log_25}}=frac{27 imes 7}{5^3}=frac{189}{125})

极易出错

已知数列({lg(a_n+cfrac{1}{2})})为首项为(lg2)，公比为(2)的等比数列；

求数列({a_n})的通项公式；

分析：(lg(a_n+cfrac{1}{2})=lg2cdot 2^{n-1}=2^{n-1}cdot lg2)

[说明：(2^{n-1}cdot lg2 eq lg2^n=ncdot lg2)，极易出错，对数运算的级别要高于乘法运算，故先计算对数，再计算乘法]

即(lg(a_n+frac{1}{2})=2^{n-1}cdot lg2=lg2^{2^{n-1}})[极易出错]

则(a_n+frac{1}{2}=2^{2^{n-1}})，即(a_n=2^{2^{n-1}}-frac{1}{2}).

对数运算

• ⑴、对数恒等式：(a^{log_aN}=N(a>0，a eq 1，N>0))

证明：由(a^b=N)得到(b=log_aN)，代入(a^b=N)即得到(a^{log_aN}=N)。

公式的作用：从左到右是化简，从右向左是常数指数化。

易错①(2^{-log_23}=2^{log_23^{-1}}=3^{-1}=cfrac{1}{3})； ②(4^{frac{1}{2}log_210}=(4^{frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10)；

③(7^{-log_7frac{1}{2}}=(cfrac{1}{2})^{-1}=2)； ④(4^{frac{1}{2}+log_210}=4^{frac{1}{2}}cdot 4^{log_210}=2cdot 2^{log_2{10}^2}=200)；

⑤求解对数不等式，(2^x>3Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}Longrightarrow x>log_23)；

当然也可以两边同时取以(2)为底的对数，得到(log_22^x>log_23)，即(x>log_23)；

⑥求解对数方程，(log_3[log_3(log_4;^x)]=0)，

解得(log_3(log_4;^x)=1)，解得(log_4;^x=3)，解得(x=64)

⑦化简求值：((sqrt{3}+sqrt{2})^{log_{sqrt{3}-sqrt{2}}sqrt{5}})

法1：原式(=(sqrt{3}+sqrt{2})^{frac{-1}{-1}log_{(sqrt{3}-sqrt{2})}sqrt{5}}=(sqrt{3}+sqrt{2})^{log_{(sqrt{3}-sqrt{2})^{-1}}{sqrt{5}}^{-1}})

(=(sqrt{3}+sqrt{2})^{log_{(sqrt{3}+sqrt{2})}(sqrt{5})^{-1}}=5^{-frac{1}{2}}=cfrac{sqrt{5}}{5})

法2：原式(=(sqrt{3}+sqrt{2})^{frac{log_{(sqrt{3}+sqrt{2})}sqrt{5}}{log_{(sqrt{3}+sqrt{2})}(sqrt{3}-sqrt{2})}}=(sqrt{3}+sqrt{2})^{-log_{(sqrt{3}+sqrt{2})}sqrt{5}})

(=(sqrt{3}+sqrt{2})^{log_{(sqrt{3}+sqrt{2})}{sqrt{5}}^{-1}}=5^{-frac{1}{2}}=cfrac{sqrt{5}}{5})

• ⑵、对数换底公式：(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a eq 1;c>0,c eq 1;b>0))

证明：设(log_ab=x)，则(a^x=b)，两边取以(c)为底的对数，

得到(log_c{a^x}=log_cb)，即(xlog_ca=log_cb)，

即(log_ab=x=cfrac{log_cb}{log_ca})，则有(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca})。

公式作用：公式从左到右，简单变复杂，是为了便于下一步约分化简；公式从右到左，直接将结果化简为对数式。

常用结论：

①(log_abcdot log_bccdot log_cd= log_ad)；

证明：用换底公式得到，(cfrac{lgb}{lga}cdot cfrac{lgc}{lgb}cdotcfrac{lgd}{lgc}=cfrac{lgd}{lga}=log_ad)。

应用：(log_ab=cfrac{1}{log_ba})，即(log_abcdot log_ba=1)；

②遇到函数(f(x)=log_2x+log_x2(xin[2，4]))时常可以考虑均值不等式或者对号函数。

如求函数(f(x)=log_2x+cfrac{1}{log_2x})的值域；利用换元法，可以转化为求函数(f(x)=g(t)=t+cfrac{1}{t})，(tin [1，2])上的值域。

③若(log_{14}7=a)，(14^b=5)，用(a、b)表示(log_{35}28)；[为对数式的化简求值做准备]

分析：由已知(log_{14}7=a)，(log_{14}5=b)，

则(log_{35}28=cfrac{log_{14}28}{log_{14}35}=cfrac{log_{14}cfrac{14^2}{7}}{log_{14}35}=cfrac{log_{14}14^2-log_{14}7}{log_{14}5+log_{14}7}=cfrac{2-a}{a+b})

⑶、(log_{a^m}{b^n}=cfrac{n}{m}log_ab(m，nin R，a>0，a eq 1，b>0))

证明：使用换底公式，

(log_{a^m}{b^n}=cfrac{lgb^n}{lga^m}=cfrac{nlgb}{mlga}=cfrac{n}{m}cdotcfrac{lgb}{lga}=cfrac{n}{m}log_ab)。

常用结论：(log_23=log_49)；(log_32=log_94)；(log_24=log_39)；(log_42=log_93)；(log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=cfrac{1}{3}log_25)；

根式运算

• 三次根式的分母有理化

如((1-k)^3=cfrac{1}{2})，则有(k=1-sqrt[3]{cfrac{1}{2}})

即(k=1-cfrac{1}{sqrt[3]{2}}=1-cfrac{sqrt[3]{4}}{sqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{4}}=1-cfrac{sqrt[3]{4}}{sqrt[3]{2^3}}=1-cfrac{sqrt[3]{4}}{2})

• 如化简(sqrt{7+4sqrt{3}})【二重根式的化简】

分析：设((a+b)^2=7+4sqrt{3})，由于是二重根式，

则有(egin{cases}a^2+b^2=7\2ab=4sqrt{3}end{cases})，解得(a=2，b=sqrt{3})或(b=2，a=sqrt{3})

即有(sqrt{7+4sqrt{3}}=sqrt{(2+sqrt{3})^2}=2+sqrt{3})。

• (sqrt{8+4sqrt{3}}=sqrt{(sqrt{2}+sqrt{6})^2}=sqrt{2}+sqrt{6})

• 化简(sqrt{5-2sqrt{6}}+sqrt{5+2sqrt{6}})

分析：(sqrt{5-2sqrt{6}}+sqrt{5+2sqrt{6}}=sqrt{(sqrt{3}-sqrt{2})^2}+sqrt{(sqrt{3}+sqrt{2})^2})

(=(sqrt{3}-sqrt{2})+(sqrt{3}+sqrt{2})=2sqrt{3}).

典例剖析

例1【化简计算】

①((2cfrac{1}{4})^{frac{1}{2}}-(-2018)^0-(3cfrac{3}{8})^{-frac{2}{3}}+(cfrac{3}{2})^{-2})

(=(cfrac{9}{4})^{frac{1}{2}}-1-(cfrac{27}{8})^{-frac{2}{3}}+(cfrac{3}{2})^{-2})

(=[(cfrac{3}{2})^2]^{frac{1}{2}}-1-[(cfrac{3}{2})^3]^{-frac{2}{3}}+(cfrac{3}{2})^{-2})

(=cfrac{3}{2}-1-(cfrac{3}{2})^{-2}+(cfrac{3}{2})^{-2}=cfrac{1}{2})。

②(cfrac{1}{2}lgcfrac{32}{49}-cfrac{4}{3}lgsqrt{8}+lgsqrt{245})

(=cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-cfrac{4}{3}lg8^{frac{1}{2}}+lg245^{frac{1}{2}})

(=cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-cfrac{4}{3}cdot cfrac{1}{2}lg2^3+cfrac{1}{2}lg(49 imes5))

(=cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-cfrac{2}{3} imes 3lg2+cfrac{1}{2}(2lg7+lg5))

(=cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+cfrac{1}{2}lg5+lg7)

(=cfrac{1}{2}lg2+cfrac{1}{2}lg5)

(=cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=cfrac{1}{2})

③((1cfrac{7}{9})^{-frac{1}{2}}+log_34sqrt{3}-(sqrt{n^2+1}-n)^{lg1}+log_5{35}-log_57)

(=(cfrac{16}{9})^{-frac{1}{2}}+log_33^{frac{1}{4}}-(sqrt{n^2+1}-n)^0+log_55+log_57-log_7)

(=[(cfrac{4}{3})^{2}]^{-frac{1}{2}}+cfrac{1}{4}-1+1)

(=cfrac{3}{4}+cfrac{1}{4}=1)

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第14题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{1+log_2(2-x)，x<1}\{2^{x-1}，xgeqslant 1,}end{array} ight.)
则(f(-2)+f(log_212))=_______________.

分析：由题目可知，(f(-2)=1+log_2[2-(-2)]=1+2=3)；又由于(log_212>1)，

故(f(log_212)=2^{log_212-1}=2^{log_212} imes 2^{-1}=12 imes cfrac{1}{2}=6)，

故(f(-2)+f(log_212)=9)；

例1解关于(t)的不等式组(left{egin{array}{l}{log_3tge 0}\{log_3(log_3t)ge 0}\{log_3[log_3(log_3t)]< 0}end{array} ight.)，求(t)的取值范围

分析：求解(log_3tge 0=log_31)得到(tge 1①)；

求解(log_3(log_3t)ge 0=log_31)得到(tge 3②)；

求解(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31)得到(3<t<27③)；

求交集得到(3<t<27)；

例2【大小比较】比较(16^{18})和(18^{16})；

法1：作商法，(cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(cfrac{16}{18})^{16}cdot 16^2=(cfrac{8}{9})^{16}cdot 2^8=(cfrac{64}{81})^{8}cdot 2^8=(cfrac{128}{81})^{8}>1)，

故(16^{18}>18^{16})；

法2：取对数作差法，(lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0)，

故(16^{18}>18^{16})；

例3大小比较：(log_34)和(log_45)；

法1：由于(log_34=log_3(3 imes cfrac{4}{3})=1+log_3 cfrac{4}{3})，

(log_45=log_4(4 imes cfrac{5}{4})=1+log_4cfrac{5}{4})，

因为底数都大于1，所以都是增函数，(cfrac{4}{3}>cfrac{5}{4})，

则(log_3cfrac{4}{3}>log_3cfrac{5}{4})，(log_3cfrac{5}{4}>log_4cfrac{5}{4})，

所以(log_3cfrac{4}{3}>log_4cfrac{5}{4})，即(log_34>log_45)；

法2：取(cfrac{5}{4})为中间量，

(log_34-cfrac{5}{4}=cfrac{lg4}{lg3}-cfrac{5}{4})

(=cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=cfrac{lgcfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0)，

即(log_34>cfrac{5}{4})

(log_45-cfrac{5}{4}=cfrac{lg5}{lg4}-cfrac{5}{4})

(=cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=cfrac{lgcfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0)，

即(log_45<cfrac{5}{4})，

即(log_34>log_45)；

例4【对数的运算】求值：(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

原式=(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

(=cfrac{1}{2}cdot 2 log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

(=cfrac{1}{2}log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})^2}=cfrac{1}{2})

例5已知(2^x=3^y)，求(cfrac{x}{y})的值。

分析：令(2^x=3^y=k)，则(x=log_2k=cfrac{1}{log_k2})，(y=log_3k=cfrac{1}{log_k3})，

故(cfrac{x}{y}=cfrac{frac{1}{log_k2}}{frac{1}{log_k3}}=cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=cfrac{lg3}{lg2})。

例6计算(5^{log_{25}(lg^22+lgfrac{5}{2})})；

分析：本题目分三个步骤完成：

第一步，先计算(5)的指数位置的对数的真数的值，

(lg^22+lgcfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5)

(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5)

(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2)

这样，原题目就转化为(5^{log_{25}(lg5)^2})；

第二步，再计算(5)的指数位置的对数的值，

(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=cfrac{2}{2}cdot log_5lg5=log_5lg5)；

这样，原题目再次转化为(5^{log_5lg5})；

第三步，利用对数恒等式求值，

(5^{log_5lg5}=lg5)；

故(5^{log_{25}(lg^22+lgfrac{5}{2})}=lg5)；

例7【2017全国卷1，文科第17题高考真题】记(S_n)为等比数列({a_n})的前(n)项和，已知(S_2=2，S_3=-6)。

（1）求数列({a_n})的通项公式。

分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？

解方程组得到(a_1=-2，q=-2)，

故({a_n})的通项公式(a_n=-2cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n)。

（2）求(S_n)，并判断(S_{n+1}，S_n，S_{n+2})是否成等差数列。

分析：先求解前(n)项和公式，

(S_n=cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}=cfrac{-2+2cdot (-1)^ncdot 2^n}{3})

(=-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3})。

接下来你得意识到，(S_n)是个关于自变量(n)的函数，故由此我们应该能写出(S_{n+1})，(S_{n+2})

至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，即验证(S_{n+2}+S_{n+1})是否等于(2S_n)。

判断如下：(S_{n+2}+S_{n+1})

(=-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}cfrac{2^{n+3}}{3}-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}cfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncdot (-1)^2cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^ncdot (-1)^1cfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^n(cfrac{2^{n+2}cdot 2}{3}-cfrac{2^{n+2}}{3}))

(=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

(=2[-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n)，

故(S_{n+1}，S_n，S_{n+2})成等差数列。

例8对正整数(n)，设曲线(y=x^n(1-x))在(x=2)处的切线与(y)轴交点的纵坐标为(a_n)，则数列({cfrac{a_n}{n+1}})的前(n)项和的公式是________.

分析：(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1})，则(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n)，

则(k=f'(2)=ncdot 2^{n-1}-(n+1)cdot 2^n=ncdot 2^{n-1}-(n+1)cdot 2^{n-1}cdot 2)

(=ncdot 2^{n-1}-(2n+2)cdot 2^{n-1}=2^{n-1}cdot (n-2n-2)=-(n+2)cdot 2^{n-1})

又切点为((2，-2^n))，则切线方程为(y-(-2^n)=-(n+2)cdot 2^{n-1}cdot (x-2))，

令(x=0)，得到切线与(y)轴交点的纵坐标(y=(n+2)cdot 2^{n}-2^n=(n+1)cdot 2^n=a_n)，

令(b_n=cfrac{a_n}{n+1}=2^n)，数列(cfrac{a_n}{n+1})的前(n)项和为

(T_n=2+2^2+2^3+cdots+2^n=cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2)；

例9解对数方程：(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2)

分析：要使得原方程成立，必须先满足条件(9^{x-1}-5>0①)， (3^{x-1}-2>0②)，

在此前提下，原方程等价于(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2));

即(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2))，

即(9^{x-1}-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即((3^{x-1})^2-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即 (3^{x-1}=1)，或者(3^{x-1}=3)，

解(3^{x-1}=1)， 即(3^{x-1}=3^0)，解得(x=1)，

解(3^{x-1}=3)， 即(3^{x-1}=3^1)，解得(x=2)，

验证：将(x=1)和(x=2)代入①②两式，舍去(x=1)，保留(x=2)，

故方程的根为(x=2)。

例10求值：(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5})

分析：设(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x)，两边同时取对数，

得到(lgx=lg[5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}])，

即(lgx=lg30cdot lg5+lg0.5cdot lgcfrac{1}{3})

即(lgx =(lg3+1)cdot lg5+(-lg2)cdot (-lg3))

即(lgx=lg3cdot lg5+lg5+lg2cdot lg3)

即(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5)

即(lgx=lg3+lg5=lg15)，

即(x=15)；

例11已知(a，b>0)，且满足(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b))，求(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})的值；

分析：引入正数因子(k)，令(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0))，

则由(2+log_2a=log_24a=k)，得到(4a=2^k)，即(a=cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2})；

由(3+log_3b=log_327b=k)，得到(27b=3^k)，即(b=cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3})；

由(log_6(a+b)=k)，得到(a+b=6^k)；

则(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=cfrac{a+b}{ab}=cfrac{6^k}{2^{k-2}cdot 3^{k-3}}=cfrac{2^kcdot 3^k}{2^kcdot 2^{-2}cdot 3^kcdot 3^{-3}})

(=cfrac{1}{2^{-2}cdot 3^{-3}}=2^2cdot 3^3=108)

例12【2019届高三理科对数与对数函数课时作业习题第14题】

设(2^a=5^b=m)，且(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=2)，则(m)=_____________。

分析：将指数式转化为对数式，可得(a=log_2m)，(b=log_5m)，

则(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=cfrac{1}{log_2m}+cfrac{1}{log_5m}=log_m2+log_m5=log_m10=2)，

即(m^2=10)，又(2^a=m>0)，故(m=sqrt{10})。

例13【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】

已知正项等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(7S_6=3S_9)，(a_4=2)，则数列({a_{3n-2}+log_2a_n})的前(10)项的和(T_{10})=____________。

分析：先由条件容易判定，$q eq 1 $，由(7S_6=3S_9)，得到(7 imes cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3 imes cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q})

转化得到(3q^9-7q^6+4=0)，令(q^3=t)，变形为(3t^3-7t^2+4=0)，

即(3t^3-3t^2-4t^2+4=0)，即(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=(t-1)(3t^2-4t-4)=0)，

解得(t=1)(舍去)，(t=-cfrac{2}{3})(舍去)，(t=2)；

即(t=q^3=2)，则(a_n=a_4cdot q^{n-4}=2q^{n-4})，

则(a_{3n-2}=2cdot q^{3n-6}=2cdot (q^3)^{n-2}=2cdot 2^{n-2}=2^{n-1})；

(log_2a_n=log_22cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_2q^3)

(=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_22=1+cfrac{n-4}{3})；

则(T_{10}=(2^0+2^1+cdots+2^9)+[(1+cfrac{-3}{3})+(1+cfrac{-2}{3})+cdots+(1+cfrac{6}{3}))

(=cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+cfrac{1}{3} imescfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038);

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

例14【2016浙江卷】已知(a>b>1)，若(log_ab+log_ba=cfrac{5}{2})，(a^b=b^a)，则(a=4)，(b=2)。

分析：令(log_ba=t)，则(t>1)，由于(t+cfrac{1}{t}=cfrac{5}{2})，所以(t=2)，则(a=b^2)，

代入(a^b=b^a)，得到(b^{2b}=b^{b^2})，则(b^2=2b)，故(b=2)，(a=4)。

例15【学生运算训练】已知等比数列的通项公式(a_n=2^n)，前(n)项和为(S_n)，解不等式(16S_nleqslant 31a_n)；

分析：由等比数列的通项公式(a_n=2^n)，得到(S_n=2^{n+1}-2)，代入不等式得到

(16(2^{n+1}-2)leqslant 31cdot 2^n)，即(16cdot 2^ncdot 2-32leqslant 31cdot 2^n)

即(32cdot 2^n-31cdot 2^nleqslant 32)，即(2^nleqslant 32)，

解得(nleqslant 5)，又(nin N^*)，

故(n=1,2,3,4,5)；

延伸阅读

1、对数的运算难点；

2、幂函数(f(x)=x^a)，其抽象函数为(f(x)cdot f(y)=f(x+y))；(cfrac{f(x)}{f(y)})(=f(cfrac{x}{y}))；

3、指数函数(f(x)=a^x)，其抽象函数为(f(x)cdot f(y)=f(x＋y))；(cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y))；

4、对数函数(f(x)=log_a^;x)，其抽象函数为(f(x)+f(y)=f(xcdot y))； (f(x)-f(y)=)(f(cfrac{x}{y}))；

• 上次编辑时间：2019-07-25