一 综述
坐标下降法属于一种非梯度优化的方法，它在每步迭代中沿一个坐标的方向进行搜索，通过循环使用不同的坐标方法来达到目标函数的局部极小值。
二 算法过程
假设目标函数是求解$f(x)$的极小值，其中$x=(x_1,x_2,ldots,x_n)$是一个n维的向量，我们从初始点$x^0$开始($x^0$是我们猜想的一个初值)对k进行循环：
相当于每次迭代都只是更新$x$的一个维度，即把该维度当做变量，剩下的n-1个维度当作常量,通过最小化$f(x)$来找到该维度对应的新的值。坐标下降法就是通过迭代地构造序列$x^0,x^1,x^2,ldots$来求解问题，即最终点收敛到期望的局部极小值点。通过上述操作，显然有：
$$f(x^0)geq f(x^1)geq f(x^2)geqldots$$
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证明如下：
当$k=0$时，对应的$f(x)$的值为$f(x^0)=f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)$
由于$x_1^1=argmin f(x_1,x_2^0,ldots,x_n^0)$，所以$f(x_1^1,x_2^0,ldots,x_n^0)leq f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0) = f(x^0)$，以此类推
所以$f(x_1^1,x_2^1,ldots,x_n^0)leq f(x_1^1,x_2^0,ldots,x_n^0)leq f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0) = f(x^0)$
所以$f(x^1) =f(x_1^1,x_2^1,ldots,x_n^1)leqldots f(x_1^1,x_2^1,ldots,x_n^0)leq f(x_1^1,x_2^0,ldots,x_n^0)leq f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0) = f(x^0)$
同理可得$f(x^2)leq f(x^1)leq f(x^0)$，命题得证。
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相比梯度下降法而言，坐标下降法不需要计算目标函数的梯度，在每步迭代中仅需求解一维搜索问题，所以对于某些复杂的问题计算较为简便。但如果目标函数不光滑的话，坐标下降法可能会陷入非驻点。
三 注意事项
关于坐标下降法，有几点需要注意的：
1.坐标下降的顺序是任意的，不一定非得按照从$x^1ldots x^n$的顺序来，可以是从1到n的任意排列。
2.坐标下降的关键在于一次一个地更新，所有的一起更新有可能会导致不收敛。
3.坐标上升法和坐标下降法的本质一样，只不过目标函数成为求$f(x)$的极大值了，每次迭代过程$min$变成$max$了。
参考：https://blog.csdn.net/u013802188/article/details/40476989/
https://blog.csdn.net/yMMxz/article/details/69396222