【洛谷】P1006 传纸条

题目链接(小教室，大教室的题目在最后）

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1 )，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n) 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0-100 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这 2 条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 2 条路径。

输入输出格式

输入格式：

输入文件，第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n ，表示班里有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 2 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例#1： 复制

34

可以将问题等价于两张纸条同时从左上角传出，只能向右或向下传，由于每个同学只会帮传一次，所以这两张纸条的路线不能相交。

由https://blog.csdn.net/qq_40889820/article/details/81432672可知，可以用dp[i][j][k][l]来表示第一张纸条从map[1][1]传到map[i][j]和第二张纸条从map[1][1]传到map[k][l]的好心程度之和的最大值。显然最后只能一张纸条由map[m][n-1]传到map[m][n]，另一张由map[m-1][n]传到map[m][n]。也可知一开始一张纸条向下传，另一张向右传。我们假设第一张纸条是向下传的，第二张纸条是向右传的，为了避免两条路线相交，在循环的时候控制一下就好了，要么从纵坐标入手：l>j，要么从横坐标入手：k<i （原因后面解释）。

那么最终答案就是dp[m][n-1][m-1][n]，

状态转移方程是dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1])+map[i][j]+map[k][l]。

那么可以这样

for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n-1;j++)
		{
			for(int k=1;k<i;k++)//注意这里
			{
				for(int l=2;l<=n;l++)
				dp[i][j][k][l]=max(
				max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
				max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))
				+map[i][j]+map[k][l];
			}
		}
	}

也可以是这样

for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n-1;j++)
		{
			for(int k=1;k<=m-1;k++)
			{
				for(int l=j+1;l<=n;l++)//注意这里
				dp[i][j][k][l]=max(
				max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
				max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))
				+map[i][j]+map[k][l];
			}
		}
	}

四维 dpAC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
int dp[51][51][51][51];
int map[51][51];//好心程度
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    cin>>map[i][j];
    
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n-1;j++)
        {
            for(int k=1;k<=m-1;k++)
            {
                for(int l=j+1;l<=n;l++)
                dp[i][j][k][l]=max(
                max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
                max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))
                +map[i][j]+map[k][l];
            }
        }
    }
    cout<<dp[m][n-1][m-1][n];
}

现在我们来考虑优化，分析一下纸条传递的规律，发现他们向下和向右走的总步数是相等的（这下上面留下的问题就解决啦！总步数相同的前提下，同列必定同行，同行必定同列，即重合），map[1][1]传到map[i][j]的总步数是i-1+j-1=i+j-2，即第一张纸条从map[1][1]传到map[m][n-1]总的步数是m-1+n-1-1=m+n-3，同理，第二张纸条总的步数也是如此，那么只要知道走的总步数和向下（右）走的步数，向右（下）的步数便可通过计算得出。

用三维dp[s][i][j]表示走的总步数为s，第一张纸条向下走了i步由map[1][1]传到了map[i+1][s+1-i]，第二张纸条向下走了j步由map[1][1]传到了map[j+1][s+1-j]。

那么最终答案等于dp[m+n-3][m-1][m-2]。

状态转移方程是dp[s][i][j]=max(dp[s-1][i-1][j],dp[s-1][i][j-1],dp[s-1][i][j],dp[s-1][i-1][j-1])+map[i+1][s+1-i]+map[j+1][s+1-j]

三维dp AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
int dp[102][51][51];
int map[51][51];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    cin>>map[i][j];
    
    for(int s=1;s<=m+n-3;s++)
    {
        for(int i=1;i<=m-1;i++)
        {
                    //j=0的时候下标出现了负数，经实验，默认为0，不过查了一下貌似挺危险，不管，过了就是过了 
            for(int j=0;j<i;j++)
            dp[s][i][j]=max(
            max(dp[s-1][i][j],dp[s-1][i-1][j-1]),
            max(dp[s-1][i][j-1],dp[s-1][i-1][j]))
            +map[i+1][s+1-i]+map[j+1][s+1-j];
        }
    }
    cout<<dp[m+n-3][m-1][m-2];
}

还可不可以再优化呢？当然！用滚动数组试一下( ´-ω ･)▄︻┻┳══━一

不过要注意的是i和j的枚举要倒叙，防止状态在转移之前被修改

二维dp AC代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
int dp[210][210];
int map[210][210];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    cin>>map[i][j];
    
    for(int s=1;s<=m+n-3;s++)
    {
        for(int i=min(m-1,s);i>=1;i--)//最开始的步数要判断一下
        {
            for(int j=i-1;j>=0;j--)//和i都要倒叙枚举
            dp[i][j]=max(
            max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]),
            max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]))
            +map[i+1][s+1-i]+map[j+1][s+1-j];
        }
    }
    cout<<dp[m-1][m-2];
}

大教室传纸条（数据规模扩大，空间限制变小）