搭配飞行员问题
最简单的一道题
就是一个二分图匹配
太空飞行计划
最大权闭合子图
什么叫"最大权闭合子图"呢？
就是给定一个有向图，在里面选择一个点集，使得点集中的点没有连向点集外的点的边，并且每个点都有一个权值，使得这个点集的权值最大
我们把实验做成点，材料做成点，每个实验要用哪些材料我们就连上去
一个闭合子图就对应着一个方案，我们把实验的收益当成实验对应的点的权值，材料的花费的相反数当成材料对应的点的权值，然后就是最大权闭合子图了
怎么求解呢？
我们建立源点s和汇点t，将s向所有正权值的点连边，边权为这个权值，将所有负权值的点向t连边，边权为负权值的相反数，图内部的边边权设置为inf
然后跑一边最大流，正权值的和减去流量就是答案了
原理
首先我们看一个流对应的割
一个割的定义就是把点集分成两半，s在一个里面，t在另一个里面，不存在s到t的路径
再看闭合子图的定义，就是子图内部的点不能连向外部的点 那么我们就把内部的点和s放在一起，把剩下的点和t放在一起，因为定义，不存在S到T的边，所以这就是一个割
不难发现任何一个割都对应着一个闭合子图
我们要求的是闭合子图里面点的权值和，就是正权值的和-负权值的绝对值的和
那么这个割的大小是什么呢？
因为原图里面边的权值都是inf，所以割肯定割的是s连出去的边和连向t的边
那么子图内部的点和t之间没有边，子图外部的点和s之间没有边，我们假设闭合子图的点集为$set$，那么割的大小就是 $sum_{u otin set & (s,u)in E} {cost(s,u)}+sum_{u in set & (u,t)in E}cost(u,t)$
我们要计算的是$sum_{u in set & (s,u)in E} {cost(s,u)}-sum_{u in set & (u,t)in E}cost(u,t)$，不难发现这就等于$sum_{u in V & (s,u) in E}{cost(s,u)}$剪掉割的大小
前面那个是定值，所以只要求最小割就可以了
输出方案
流是如何转化为割的呢？ 其实就是把满流的边割掉
所以我们再从s增广一次，能够增广到的点就是最终点集中的点