动态规划_备忘录法_矩阵链乘问题

目录

• 问题描述
• 完全加括号
• 最优子结构
• 最优解的递推关系
• 算法描述（伪代码）
• 结束语

问题描述

给定nn个矩阵{A1,A2,A3,...,An}{A1,A2,A3,...,An}，其中AiAi为Pi−1×PiPi−1×Pi矩阵，i=1,...,ni=1,...,n，并且AiAi与Ai−1Ai−1是可乘的。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的链乘可有许多不同的计算次序，两个矩阵Ai×jAi×j与Aj×kAj×k相乘的工作量为i×j×ki×j×k次数乘。
给定向量P=<P0,P1,...,Pn>P=<P0,P1,...,Pn>为nn个矩阵的行数和列数，确定一种乘法次序，使得基本运算“数乘”的总次数最少。

完全加括号

完全加括号的矩阵链乘积可递归地定义为：

• 单个矩阵是完全加括号的
• 矩阵链乘积AA是完全加括号的，则AA可表示为两个完全加括号的矩阵链乘积BB和CC的乘积，并加括号，即A=(BC)A=(BC)

最优子结构

• 矩阵链乘AiAi+1...AjAiAi+1...Aj简记为Ai...j,i≤jAi...j,i≤j，于是矩阵链乘A1A2...AnA1A2...An可记为A1...nA1...n，完全加括号形式为A1...n=A1...kAk+1...n,1≤k<nA1...n=A1...kAk+1...n,1≤k<n
• 矩阵连乘A1...nA1...n的最优计算次序的计算量等于A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n两者的最优计算次序的计算量之和，再加上A1...kA1...k和Ak+1...nAk+1...n相乘的计算量。矩阵链乘问题的最优解具有最优子结构特性。

最优解的递推关系

• 由ii和jj确定子问题的边界，输入P=<P0,P1,...Pn>P=<P0,P1,...Pn>

Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j−1Ai...j=Ai...kAk+1...j,k=i,i+1,...,j−1

• 确定优化函数和递推方程：二维数组mm用来保存矩阵链乘时所需的最小计算量

m[i][j]={mini≤k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi−1PkPj}0if i<jif i=jm[i][j]={mini≤k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+Pi−1PkPj}if i<j0if i=j

• 设立标记函数：为了确定加括号的次序，设计表s[i,j]s[i,j]记录求得最优时，最后一次运算的位置，即m[i][j]m[i][j]达到最小时kk的划分。

算法描述（伪代码）

• 迭代实现 备忘录法

haskell

MatrixChain(P,n)
	令所有m[i,j]的初值为0；
	for r <- 2 to n   do
		for i <- 1 to n-r+1  do
			j <- i+r-1;
			m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j;
			s[i,j] = i;
			for k <- i+1 to j-1  do
				t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j;
				if t < m[i,j]
					then m[i,j] <- t;
						 s[i,j] <- k;

结束语

醉后不知天在水，满船清梦压星河

作者：花城