[BZOJ1494][NOI2007]生成树计数 状压dp 并查集

1494: [NOI2007]生成树计数

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Description

最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现：

·n个结点的环的生成树个数为n。

·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2)。这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了他继续计算生成树个数的

想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，

马上想到了生成树问题。如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为1）的同学间连一条边，就变成了一

个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连

一条边，还把相隔一个座位（结点间距离为2）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称

为有边相连，如图1所示。

小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法：

构造一个n×n的矩阵A={aij},其中

其中di表示结点i的度数。与图1相应的A矩阵如下所示。为了计算图1所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵A的最

后一行和最后一列，得到一个(n-1)×(n-1)的矩阵B，计算出矩阵B的行列式的值便可得到图1的生成树的个数所以

生成树的个数为|B|=3528。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更

简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链，连接距离

为1和距离为2的点。例如八个点的情形如下：

 

 

这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的

生成树个数。可是，如果把距离为3的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类

图的生成树的数目。

 

Input

包含两个整数k,n，由一个空格分隔。k表示要将所有距离不超过k（含k）的结点连接起来，n表示有n个结点。

Output

输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你 只要输出答案除65521 的余数即可。

Sample Input

3 5

Sample Output

75

HINT

 

Source

 

观察到k很小，n很大。

考虑状压dp，矩阵快速幂优化。

但是我们需要对状态进行离散化，还需有一些小技巧，可以看程序。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 150
#define mod 65521
using namespace std;
int size[10]={1,1,1,3,16,125};
long long n,k;int cnt;
struct data {
    long long mat[maxn+1][maxn+1];
    data() {memset(mat,0,sizeof(mat));}
    data operator *(const data t1) {
        data tp;
        for(int i=0;i<=cnt;i++)
            for(int j=0;j<=cnt;j++)
                for(int k=0;k<=cnt;k++) tp.mat[i][j]+=mat[i][k]*t1.mat[k][j],tp.mat[i][j]%=mod;
        return tp;
    }
}A,B;
int hash[20000],sta[20000];
int fa[20000];
int find(int x){return fa[x]==x?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);}
void prepare(int pos,int now,int ma) {
    if(pos==k+1) {
        hash[now]=cnt++;
        sta[cnt-1]=now;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=ma;i++) prepare(pos+1,now+(i<<(3*(pos-1))),ma+(i==ma));
}
int get() {
    int h[200];
    memset(h,-1,sizeof(h));
    int re=0;
    int cc=0;
    for(int i=2;i<=k+1;i++) {
        if(h[find(i)]==-1) h[find(i)]=++cc;
    }
    for(int i=2;i<=k+1;i++) {
        int now=h[find(i)];
        re+=(now<<(3*(i-2)));
    }
    return hash[re];
}
void build(int x,int add) {
    int now=sta[x];
    for(int i=1;i<=k+1;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=k;i++) {
        for(int j=i+1;j<=k;j++) {
            if(((now>>((i-1)*3))&7)==((now>>((j-1)*3))&7)) {
                int f1=find(i),f2=find(j);
                if(f1!=f2) fa[f1]=f2;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++) {
        if(add&(1<<(i-1))) {
            int f1=find(i),f2=find(k+1);
            if(f1==f2) return;
            fa[f1]=f2;
        }
    }
    bool flag=0;
    for(int i=2;i<=k+1;i++) {
        if(find(1)==find(i)) {flag=1;break;}
    }
    if(!flag) return;
    A.mat[get()][x]++;
}
data pow(data x,long long p) {
    data ans;
    for(int i=0;i<=maxn;i++) ans.mat[i][i]=1;
    while(p) {
        if(p&1) ans=ans*x;
        x=x*x;
        p>>=1;
         
    }
    return ans;
}
int main() {
    for(int i=0;i<=maxn;i++) B.mat[i][0]=1;
    scanf("%lld%lld",&k,&n);
    prepare(1,0,1);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
        for(int j=0;j<(1<<k);j++) build(i,j);
    /*for(int i=0;i<cnt;i++) {
        for(int j=0;j<=k;j++) cout<<A.mat[i][j]<<' ';
        cout<<endl;
    }*/
    for(int i=0;i<cnt;i++) {
        int now=sta[i];
        int tmp[10]={};
        for(int j=1;j<=k;j++) tmp[now>>((j-1)*3)&7]++;
        for(int j=1;j<=k;j++) B.mat[i][0]*=size[tmp[j]];
    }
     
    A=pow(A,n-k);
    A=A*B;
    printf("%lld",A.mat[0][0]%mod);
}