[USACO2021DEC] HILO
Solution
参考自 官方题解 里提到的一篇 Obliteration.pdf，但是里面作者写出了极多错误。。。然后式子还错错得对了。
令 \(y=n-x\)。
我们考虑枚举每一对数的贡献，不妨设为 \(j,i\ (j\in [x+1,n],i\in [1,x])\)：
\[\pi =\underbrace{\cdots}_{X} \ j\ \underbrace{\cdots}_{Y} \ i \underbrace{\cdots}_{Z}
\]
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对于 \(k\in [1,i)\)，它们若位于 \(X,Z\) 则没有限制，位于 \(Y\) 则得满足它不是 "LO"；
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对于 \(k\in [i+1,x]\)，它们只能位于 \(Z\)；
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对于 \(k\in [x+1,j)\)，它们只能位于 \(Z\)；
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对于 \(k\in [j+1,n]\)，它们没有任何限制。
我们枚举第一类位于 \(X,Y\) 的个数 \(m\)，限制是位于 \(X\) 中的 \(\max\) 大于 \(Y\) 中的 \(\max\)，显然两者是对称的，所以方案数为 \(\binom{i-1}{m} \cdot \frac{(m+1)!+[m=0]}{2}\)。
接下来推式子：
\[\begin{aligned}ans&=\sum_{i\le x}\sum_{j\le y} n^{\underline{y-j}} \sum_{m}\binom{i-1}{m} \cdot \frac{(m+1)!+[m=0]}{2}\cdot (n-(y-j+1)-m-1)!\\&=\sum_{j\le y} n^{\underline{j-1}}\sum_{i\le x}\sum_{m}\binom{i-1}{m}\cdot \frac{(m+1)!+[m=0]}{2}\cdot (n-j-m-1)!\\&=\sum_{j\le y} n^{\underline{j-1}}\sum_{m}\binom{x}{m+1}\cdot \frac{(m+1)!+[m=0]}{2}\cdot (n-j-m-1)!\\&=\sum_{j\le y}\frac{n^{\underline{j-1}}}{2}\left(x(n-j-1)!+\sum_{m\ge 1}\frac{x!}{(x-m)!}(n-j-m)!\right)\\&=\sum_{j\le y}\frac{n^{\underline{j-1}}}{2}\left(x(n-j-1)!+x!(y-j)!\sum_{m\ge 1}\binom{n-j-m}{y-j}\right)\\&=\sum_{j\le y}\frac{n^{\underline{j-1}}}{2}\left(x(n-j-1)!+x!(y-j)!\binom{n-j}{y-j+1}\right)\\&=\sum_{j\le y}\frac{n^{\underline{j-1}}}{2}\left(x(n-j-1)!+\frac{x(n-j)!}{y-j+1}\right)\\&=\frac{n!}{2}\sum_{j\le y}\left(\frac{x}{(n-j)(n-j+1)}+\frac{x}{(n-j+1)(y-j+1)}\right)\\&=\frac{n!}{2}\sum_{j\le y}\left(\frac{x}{n-j}-\frac{x}{n-j+1}+\frac{1}{y-j+1}-\frac{1}{n-j+1}\right)\\&=\frac{n!}{2}\left(1-\frac{x}{n}+H_y-(H_n-H_{n-y})\right)\\&=\frac{n!}{2}\left(H_x+H_y-H_n+\frac{y}{n}\right)\end{aligned}
\]
其中 \(H_n\) 是调和级数前缀和。
于是我们得到了可以对 \(x=0\sim n\) 均 \(\mathcal O(1)\) 求解的线性做法。
时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。