P1979 华容道

 P1979 华容道

题目描述

【问题描述】

小 B 最近迷上了华容道，可是他总是要花很长的时间才能完成一次。于是，他想到用编程来完成华容道：给定一种局面， 华容道是否根本就无法完成，如果能完成， 最少需要多少时间。

小 B 玩的华容道与经典的华容道游戏略有不同，游戏规则是这样的：

1. 在一个 n*m 棋盘上有 n*m 个格子，其中有且只有一个格子是空白的，其余 n*m-1个格子上每个格子上有一个棋子，每个棋子的大小都是 1*1 的；

2. 有些棋子是固定的，有些棋子则是可以移动的；

3. 任何与空白的格子相邻（有公共的边）的格子上的棋子都可以移动到空白格子上。

游戏的目的是把某个指定位置可以活动的棋子移动到目标位置。

给定一个棋盘，游戏可以玩 q 次，当然，每次棋盘上固定的格子是不会变的， 但是棋盘上空白的格子的初始位置、 指定的可移动的棋子的初始位置和目标位置却可能不同。第 i 次

玩的时候， 空白的格子在第 EXi 行第 EYi 列，指定的可移动棋子的初始位置为第 SXi 行第 SYi列，目标位置为第 TXi 行第 TYi 列。

假设小 B 每秒钟能进行一次移动棋子的操作，而其他操作的时间都可以忽略不计。请你告诉小 B 每一次游戏所需要的最少时间，或者告诉他不可能完成游戏。

输入输出格式

输入格式：

输入文件为 puzzle.in。

第一行有 3 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 n、m 和 q；

接下来的 n 行描述一个 n*m 的棋盘，每行有 m 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，每个整数描述棋盘上一个格子的状态，0 表示该格子上的棋子是固定的，1 表示该格子上的棋子可以移动或者该格子是空白的。接下来的 q 行，每行包含 6 个整数依次是 EXi、EYi、SXi、SYi、TXi、TYi，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每次游戏空白格子的位置，指定棋子的初始位置和目标位置。

输出格式：

输出文件名为 puzzle.out。

输出有 q 行，每行包含 1 个整数，表示每次游戏所需要的最少时间，如果某次游戏无法完成目标则输出−1。

输入输出样例

输入样例#1：

3 4 2
0 1 1 1
0 1 1 0
0 1 0 0
3 2 1 2 2 2
1 2 2 2 3 2

输出样例#1：

2
-1

说明

【输入输出样例说明】

棋盘上划叉的格子是固定的，红色格子是目标位置，圆圈表示棋子，其中绿色圆圈表示目标棋子。

1. 第一次游戏，空白格子的初始位置是 (3, 2)（图中空白所示），游戏的目标是将初始位置在(1, 2)上的棋子（图中绿色圆圈所代表的棋子）移动到目标位置(2, 2)（图中红色的格子）上。

移动过程如下：

2. 第二次游戏，空白格子的初始位置是（1, 2）（图中空白所示），游戏的目标是将初始位置在（2, 2）上的棋子（图中绿色圆圈所示）移动到目标位置 (3, 2)上。

要将指定块移入目标位置，必须先将空白块移入目标位置，空白块要移动到目标位置，必然是从位置（2， 2）上与当前图中目标位置上的棋子交换位置，之后能与空白块交换位置的只有当前图中目标位置上的那个棋子，因此目标棋子永远无法走到它的目标位置， 游戏无

法完成。

【数据范围】

对于 30%的数据，1 ≤ n, m ≤ 10，q = 1；

对于 60%的数据，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 10；

对于 100%的数据，1 ≤ n, m ≤ 30，q ≤ 500。

 思路：

基本思路

　　bfs跟踪空格， 直至到达目标状态。

重新定义有用状态

　　只有空白块与指定块相邻，状态才有用

　　①这样状态就不是连续的，怎么办？

　　　　①提前抽离所有有用状态，构图 转化为图上最短路问题

思路框架

第一步，抽离有用状态

第二步，有用状态与有用的后继状态 连边构图， 边权为 由有用状态 到 后继状态 所需的最小步数

第三步，初始状态 到 目标状态 跑最短路

状态的表示

②如何方便的存储状态？

　　②用0,1,2,3分别表示空白格在指定格的上右下左 状态=（（行号-1）*列数+（列号-1））*4+ 0/1/2/3

int turn(int i,int j) { 
    return (i-1)*m+j-1<<2; 
}

　　②状态=turn(x,y)+0/1/2/3

小技巧： 所有网格图中的状态都可以采取类似的方法

　　         状态编号= 图中编号* S+ x ，x∈[0，S)

　　　　 S=每种编号状态数

一、抽离有用状态

　　对于1个指定块和一个空白块，有4种有效状态：空白块分别在指定块的上、下、左、右 对于每一种有效状态，有4种后继状态：另外3个方向的状态、交换空白块与指定块 枚举每一个指定块、再枚举指定块的每一个有效状态  bfs计算  到每一个后继状态的最小步数

 for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
          if(a[i][j]) {
             if(a[i-1][j]) bfs(i-1,j,i,j,0);
             if(a[i][j+1]) bfs(i,j+1,i,j,1);
             if(a[i+1][j]) bfs(i+1,j,i,j,2);
             if(a[i][j-1]) bfs(i,j-1,i,j,3);             
          }

二、bfs计算边权

　　前三种后继状态的指定格都位于同一位置

　　指定格开始在px，py 空白格开始在ex，ey

　　以ex，ey 为局部初始状态，以另外三个方向的位置为局部目标状态 　

　　spfa 计算 空白格移动到 非障碍格 的最小步数当前状态向后继状态连边权为最小步数的边

　　代码中的pre_dis[][]

前三种状态代码

void bfs(int ex,int ey,int px,int py,int d) {
    int cx,cy,nx,ny;
    memset(pre_dis,-1,sizeof(pre_dis));
    pre_dis[px][py]=1;
    pre_dis[ex][ey]=0;
    cur.x=ex;
    cur.y=ey;
    q.push(cur);
    while(!q.empty()) {
        cur=q.front();
        q.pop();
        cx=cur.x,cy=cur.y;
        for(int i=0; i<4; i++) {
            nx=cur.x+x[i],ny=cur.y+y[i];
            if(a[nx][ny]&&pre_dis[nx][ny]==-1) {
                pre_dis[nx][ny]=pre_dis[cx][cy]+1;
                nxt.x=nx;
                nxt.y=ny;
                q.push(nxt);
            }
        }
    }
    if(d==4) return;
    int tmp=turn(px,py);
    for(int i=0; i<4; i++)
        if(pre_dis[px+x[i]][py+y[i]]>0) add(tmp+d,tmp+i,pre_dis[px+x[i]][py+y[i]]);
}

特殊的状态　　

　　关键看第四种后继状态

　　他的计算很简单，就是1步

　　③问题是，问什么会有这一后继状态?

　　　　③前面提到 抽离有用状态 造成了状态的不连续

　　这是不连续的第二层含义

如何理解第四种状态

如果没有第四种状态 我们得到的图大概是这个样子

第四种状态——桥梁

有了第四种状态 大概长这样

也就是说 第四种状态是 将不连续状态连接在一起的桥梁

第四种状态代码

bfs函数最后面加上    add(tmp+d,turn(ex,ey)+(d+2)%4,1);

你现在知道为什么0123分别表示上右下左了吗

状态的有效表示

状态=（（行号-1）*列数+（列号-1））*4+ 0/1/2/3

你现在体会到这种表示方法的强大了吗

三、最短路出解 

现在我们有了这样一张图

注意： 终点一定在图内    起点可能与图隔绝    

④why？

初始状态与所构图隔绝

　　④初始状态不一定空白块与指定块挨着 所以初始状态不一定在图中

处理初始状态

如果空白格不与指定格相连， 那么空白格必须先移动到指定格四周

所以可以先让空白格移动到指定格四周

跟第二步同样的方法

将这四个后继状态作为新的初始状态

处理初始状态代码

bfs(ex,ey,sx,sy,4);
for(int i=0; i<4; i++)
    if(pre_dis[sx+x[i]][sy+y[i]]!=-1) {
        tmp=turn(sx,sy)+i;
        dis[tmp]=pre_dis[sx+x[i]][sy+y[i]];
        k.push(tmp);
    }

目标状态

思考：目标状态是什么？

最终图示

在本图上跑最短路即可

 

出结果代码

ans=0x7fffffff;
int tmp=turn(tx,ty);
for(int i=0; i<4; i++)
    if(dis[tmp+i]!=-1) ans=min(ans,dis[tmp+i]);

最后的spfa代码

int now;
while(!k.empty()) {
    now=k.front();
    k.pop();
    v[now]=false;
    for(int i=front[now]; i; i=nextt[i])
        if(dis[to[i]]==-1||dis[to[i]]>dis[now]+w[i]) {
            dis[to[i]]=dis[now]+w[i];
            if(!v[to[i]]) {
                v[to[i]]=true;
                k.push(to[i]);
            }
        }
}

思路梳理

一、有用状态

A、合理高效定义有用状态，并将它不重不漏且方便的体现在代码中

B、找出有用状态并抽离

C、思考它们是否连续

二、构图

A、计算有用状态与其后继状态之间的边权

B、如果有用状态不连续，找到 连接状态之间的桥梁

三、用图论算法出解

A、调整初始状态与目标状态

B、算法出解

上代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int M = 3601;
int n,m,p,num,ans;
bool map[32][32],vis[M];
int dx[4]= {-1,0,1,0}, dy[4]= {0,1,0,-1};
int pre_dis[32][32],dis[M],w[M*4],to[M*4],pre[M*4],head[M];
struct Node {
    int x,y;
} cur,nxt;
queue<Node>q;
queue<int>k;

void add(int u,int v,int val) {
    to[++num]=v;
    pre[num]=head[u];
    head[u]=num;
    w[num]=val;
}

int turn(int i,int j) {
    //（行号-1）*列数+（列号-1）
    //画一个棋盘，从左上角开始编号，编号从0开始，编一遍
    return (i-1)*m+j-1<<2;
}

void bfs(int ex,int ey,int px,int py,int d) {
    //指定格开始在px，py; 空白格开始在ex，ey; d是方向
    int cx,cy,nx,ny;
    memset(pre_dis,-1,sizeof(pre_dis));
    /*    pre_dis数组表示？
        固定指定块，空白块在指定块的一个方向
        由这个状态到其他状态的最短路
        其他状态：指定块在同一位置，空白块在指定块的另外三个方向
    */
    pre_dis[px][py]=1;//空白格移动到指定格，两者交换，步数为1
    pre_dis[ex][ey]=0;//空白格本就是空白格，不需要移动
    cur.x = ex;
    cur.y = ey;
    q.push(cur);
    while(!q.empty()) {
        cur=q.front();
        q.pop();
        cx=cur.x, cy=cur.y;
        for(int i=0; i<4; i++) {
            nx=cur.x+dx[i],ny=cur.y+dy[i];
            if(map[nx][ny] && pre_dis[nx][ny]==-1) {
                pre_dis[nx][ny]=pre_dis[cx][cy]+1;
                nxt.x = nx;
                nxt.y = ny;
                q.push(nxt);
            }
        }
    }
    if(d==4) return ;
    //初始状态连到图里的时候，d=4
    //他的结果直接留在pre_dis里作为新的初始状态，不需要连边
    int tmp=turn(px,py);
    for(int i=0; i<4; i++)
        if(pre_dis[px+dx[i]][py+dy[i]]>0) add(tmp+d,tmp+i,pre_dis[px+dx[i]][py+dy[i]]);
    //由传入状态向其他方向连边
    add(tmp+d,turn(ex,ey)+(d+2)%4,1);//d+2转到相对的方向,转到空白格的对面
}

void spfa(int sx,int sy) {
    int tmp;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));//dis初始值
    for(int i=0; i<4; i++)
        if(pre_dis[sx+dx[i]][sy+dy[i]]!=-1) {
            tmp=turn(sx,sy)+i;
            dis[tmp]=pre_dis[sx+dx[i]][sy+dy[i]];
            k.push(tmp);
        }
    int now;
    while(!k.empty()) { //k队列中存的初始状态
        now=k.front();
        k.pop();
        vis[now]=false;
        for(int i=head[now]; i; i=pre[i])
            if(dis[to[i]]==-1 || dis[to[i]]>dis[now]+w[i]) {
                dis[to[i]]=dis[now]+w[i];
                if(!vis[to[i]]) {
                    vis[to[i]]=true;
                    k.push(to[i]);
                }
            }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            scanf("%d",&map[i][j]);
    for(int i=1; i<=n; i++) //预处理边权
        for(int j=1; j<=m; j++)
            if(map[i][j]) {
                if(map[i-1][j]) bfs(i-1,j,i,j,0);
                if(map[i][j+1]) bfs(i,j+1,i,j,1);
                if(map[i+1][j]) bfs(i+1,j,i,j,2);
                if(map[i][j-1]) bfs(i,j-1,i,j,3);
            }
    for(int i=1; i<=p; i++) {
        int sx,sy,ex,ey,tx,ty;
        scanf("%d%d%d%d%d%d",&ex,&ey,&sx,&sy,&tx,&ty);
        if(sx==tx&&sy==ty) {
            printf("0
");
            continue;
        }
        bfs(ex,ey,sx,sy,4);//指定格开始在sx，sy; 空白格开始在ex，ey
        //pre_dis数组在这的作用是初始值
        spfa(sx,sy);
        ans=0x7fffffff;
        int tmp=turn(tx,ty);//目标状态
        for(int i=0; i<4; i++)//在四个目标状态中取最小值
            if(dis[tmp+i]!=-1) ans=min(ans,dis[tmp+i]);
        if(ans==0x7fffffff) ans=-1;
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

自己选的路，跪着也要走完！！！