什么是最小生成树？
生成树是相对图来说的，一个图的生成树是一个树并把图的所有顶点连接在一起。一个图可以有许多不同的生成树。一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。生成树的权重是考虑到了生成树的每条边的权重的总和。
最小生成树有几条边？
最小生成树有（V – 1）条边，其中V是给定的图的顶点数量。
Kruskal算法
下面是步骤寻找MST使用Kruskal算法
1 |
1，按照所有边的权重排序(从小到大) |
2 |
3 |
2，选择最小的边。检查它是否形成与当前生成树形成环。如果没有形成环，讲这条边加入生成树。否则，丢弃它。 |
4 |
5 |
3，重复第2步，直到有生成树（V-1）条边 |
步骤2使用并查集算法来检测环。如果不熟悉并查集建议阅读下并查集。
该算法是一种贪心算法。贪心的选择是选择最小的权重的边，并不会和当前的生成树形成环。让我们了解一个例子，考虑下面输入图
spanning-tree-mst
该图包含9个顶点和14个边。因此，形成最小生成树将有（9 – 1）= 8条边。
01 |
排序后： |
02 |
Weight Src Dest |
03 |
1 7 6 |
04 |
2 8 2 |
05 |
2 6 5 |
06 |
4 0 1 |
07 |
4 2 5 |
08 |
6 8 6 |
09 |
7 2 3 |
10 |
7 7 8 |
11 |
8 0 7 |
12 |
8 1 2 |
13 |
9 3 4 |
14 |
10 5 4 |
15 |
11 1 7 |
16 |
14 3 5 |
现在从已经排序的边中逐个选择
1. edge 7-6:没有环，加入
2. edge 8-2: 没有环，加入
3. edge 6-5: 没有环，加入
4. edge 0-1: 没有环，加入
5. edge 2-5: 没有环，加入
6. edge 8-6: 加入后会形成环，舍弃
7. edge 2-3: 没有环，加入
8. edge 7-8: 加入后会形成环，舍弃
9. edge 0-7: 没有环，加入
10. edge 1-2: 加入后会形成环，舍弃
11. edge 3-4: 没有环，加入
目前为止一家有了 V-1 条边，可以肯定V个顶点都一包含在内，到此结束。
代码实现：
// Kruskal 最小生成树算法 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> // 带有权重的边 struct Edge { int src, dest, weight; }; // 无向图 struct Graph { // V-> 顶点个数, E->边的个数 int V, E; // 由于是无向图，从 src 到 dest的边，同时也是 dest到src的边，按一条边计算 struct Edge* edge; }; //构建一个V个顶点 E条边的图 struct Graph* createGraph(int V, int E) { struct Graph* graph = (struct Graph*) malloc( sizeof(struct Graph) ); graph->V = V; graph->E = E; graph->edge = (struct Edge*) malloc( graph->E * sizeof( struct Edge ) ); return graph; } //并查集的结构体 struct subset { int parent; int rank; }; // 使用路径压缩查找元素i int find(struct subset subsets[], int i) { if (subsets[i].parent != i) subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); return subsets[i].parent; } // 按秩合并 x，y void Union(struct subset subsets[], int x, int y) { int xroot = find(subsets, x); int yroot = find(subsets, y); if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) subsets[xroot].parent = yroot; else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank) subsets[yroot].parent = xroot; else { subsets[yroot].parent = xroot; subsets[xroot].rank++; } } // 很据权重比较两条边 int myComp(const void* a, const void* b) { struct Edge* a1 = (struct Edge*)a; struct Edge* b1 = (struct Edge*)b; return a1->weight > b1->weight; } // Kruskal 算法 void KruskalMST(struct Graph* graph) { int V = graph->V; struct Edge result[V]; //存储结果 int e = 0; //result[] 的index int i = 0; // 已排序的边的 index //第一步排序 qsort(graph->edge, graph->E, sizeof(graph->edge[0]), myComp); // 为并查集分配内存 struct subset *subsets = (struct subset*) malloc( V * sizeof(struct subset) ); // 初始化并查集 for (int v = 0; v < V; ++v) { subsets[v].parent = v; subsets[v].rank = 0; } // 边的数量到V-1结束 while (e < V - 1) { // Step 2: 先选最小权重的边 struct Edge next_edge = graph->edge[i++]; int x = find(subsets, next_edge.src); int y = find(subsets, next_edge.dest); // 如果此边不会引起环 if (x != y) { result[e++] = next_edge; Union(subsets, x, y); } // 否则丢弃，继续 } // 打印result[] printf("Following are the edges in the constructed MST "); for (i = 0; i < e; ++i) printf("%d -- %d == %d ", result[i].src, result[i].dest, result[i].weight); return; } // 测试 int main() { /* 创建下面的图： 10 0--------1 | | 6| 5 |15 | | 2--------3 4 */ int V = 4; // 顶点个数 int E = 5; //边的个数 struct Graph* graph = createGraph(V, E); // 添加边 0-1 graph->edge[0].src = 0; graph->edge[0].dest = 1; graph->edge[0].weight = 10; graph->edge[1].src = 0; graph->edge[1].dest = 2; graph->edge[1].weight = 6; graph->edge[2].src = 0; graph->edge[2].dest = 3; graph->edge[2].weight = 5; graph->edge[3].src = 1; graph->edge[3].dest = 3; graph->edge[3].weight = 15; graph->edge[4].src = 2; graph->edge[4].dest = 3; graph->edge[4].weight = 4; KruskalMST(graph); return 0; }
运行结果如下：
Following are the edges in the constructed MST 2 -- 3 == 4 0 -- 3 == 5 0 -- 1 == 10
时间复杂度：
O(ElogE) 或 O(ElogV)。 排序使用 O(ELogE) 的时间，之后我们遍历中使用并查集O(LogV) ，所以总共复杂度是 O(ELogE + ELogV)。E的值最多为V^2，所以
O(LogV) 和 O(LogE) 可以看做是一样的。