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  • 第十二章 二叉搜索树

    摘要:

      本章介绍了二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质,如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值,如何找出某一个元素的前驱和后继,如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比,一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn),从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

    1、二叉查找树

      二叉查找树是按照二叉树结构来组织的,因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是:设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点,则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知,采用中根遍历一棵二叉查找树,可以得到树中关键字有小到大的序列。一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示:

    书中给出了一个定理:如果x是一棵包含n个结点的子树的根,则其中根遍历运行时间为θ(n)。

    问题:二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别?能否利用最小堆的性质在O(n)时间内,按序输出含有n个结点的树中的所有关键字?

    2、查询二叉查找树

      二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字,除了基本的查询,还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作,书中就每种查询进行了详细的讲解。

    (1)查找SEARCH

      在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似,根据二叉查找树在的关键字存放的特征,很容易得出查找过程:首先是关键字k与树根的关键字进行比较,如果k大比根的关键字大,则在根的右子树中查找,否则在根的左子树中查找,重复此过程,直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程:(查找过程每次在左右子树中做出选择,减少一半的工作量)

    书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码:

    TREE_SEARCH(x,k)
      if x=NULL or k=key[x]
          then return x
      if(k<key[x])
          then return TREE_SEARCH(left[x],k)
       else
          then return TREE_SEARCH(right[x],k)

    非递归

    ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)
      while x!=NULL and k!=key[x]
          do if k<key[x]
                  then x=left[x]
               else
                  then x=right[x]
       return x

    (2)查找最大关键字和最小关键字

      根据二叉查找树的特征,很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字:从根结点开始,沿着各个节点的left指针查找下去,直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树,则以x为根的子树中,最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字:从根结点开始,沿着各个结点的right指针查找下去,直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码:

    查找最小关键字

    TREE_MINMUM(x)
        while left[x] != NULL
           do x=left[x]
        return x

    查找最大关键字

    TREE_MAXMUM(x)
        while right[x] != NULL
             do x= right[x]
         return x

    (3)前驱和后继

      给定一个二叉查找树中的结点,找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同,则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点,后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质,不用对关键字做任何比较,就可以找到某个结点的前驱和后继。

      查找前驱步骤:先判断x是否有左子树,如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点,即是x的前驱。如果没有左子树,则从x继续向上执行此操作,直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程:

      查找后继步骤:先判断x是否有右子树,如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点,即使x的后继。如果没有右子树,则从x的父节点开始向上查找,直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程:

    书中给出了求x结点后继结点的伪代码:

    TREE_PROCESSOR(x)
        if right[x] != NULL
            then return TREE_MINMUM(right(x))
        y=parent[x]
        while y!= NULL and x ==right[y]
               do x = y
                   y=parent[y]
        return y

    定理:对一棵高度为h的二叉查找,动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。

    3、插入和删除

      插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化,难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些,删除结点比较复杂。

    (1)插入

      插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置,因此需要从根结点开始查找带插入结点位置,找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程:

    书中给出了插入过程的伪代码:

    TREE_INSERT(T,z)
        y = NULL;
        x =root[T]
        while x != NULL
            do y =x
                if key[z] < key[x]
                     then x=left[x]
                     else  x=right[x]
         parent[z] =y
         if y=NULL
            then root[T] =z
            else if key[z]>key[y]
                       then  keft[y]  = z
                       else   right[y] =z

    插入过程运行时间为O(h),h为树的高度。

    (2)删除

      从二叉查找树中删除给定的结点z,分三种情况讨论:

    <1>结点z没有左右子树,则修改其父节点p[z],使其为NULL。删除过程如下图所示:

    <2>如果结点z只有一个子树(左子树或者右子树),通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示:

    <3>如果z有两个子女,则先删除z的后继y(y没有左孩子),在用y的内容来替代z的内容。

    书中给出了删除过程的伪代码:

    TREE_DELETE(T,z)
        if left[z] ==NULL or right[z] == NULL
           then y=z
           else  y=TREE_SUCCESSOR(z)
       if left[y] != NULL
           then x=left[y]
           else  x=right[y]
       if x!= NULL
           then parent[x] = parent[y]
       if p[y] ==NULL
          then root[T] =x
          else if y = left[[prarnt[y]]
                      then left[parent[y]] = x
                      else  right[parent[y]] =x
        if y!=z
            then key[z] = key[y]
                  copy y's data into z
         return y

    定理:对高度为h的二叉查找树,动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。

    4、实现测试

      采用C++语言实现一个简单的二叉查找树,支持动态集合的基本操作:search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示:

    #include<iostream>
    #include<stack>
    #include<cstdlib>
    using namespace std;
    
    typedef struct BinarySearchTreeNode
    {
        int elem;
        struct BinarySearchTreeNode *parent;
        struct BinarySearchTreeNode *left;
        struct BinarySearchTreeNode *right;
    }BinarySearchTreeNode,*BinarySearchTree;
    
    //初始化二叉树
    void init_binary_tree(BinarySearchTree *root)
    {
        *root=NULL;
    }
    
    //非递归
    void TreeInsert(BinarySearchTree *root,int z)
    {
        BinarySearchTree y=NULL,x;
        if(*root==NULL)
        {
            *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
            (*root)->elem=z;
            (*root)->left=(*root)->right=NULL;
            (*root)->parent=NULL;
            return;
        }
        x=*root;
        while(x)
        {
            //y用来记录父节点
            y=x;
            if(z<x->elem)
                x=x->left;
            else
                x=x->right;
        }
         BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
         p->elem=z;
         p->parent=y;
         p->left=p->right=NULL;
         if(z<y->elem)
            y->left=p;
         else
            y->right=p;
    }
    //递归
    void tree_insert(BinarySearchTree *root,int z)
    {
        if(*root==NULL)
        {
            *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
            (*root)->elem=z;
            (*root)->left=(*root)->right=(*root)->parent=NULL;
            return;
        }
        if((*root)->left==NULL&&z<(*root)->elem)
        {
            BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
            p->elem=z;
            p->left=p->right=NULL;
            p->parent=*root;
            (*root)->left=p;
            return;
        }
        if((*root)->right==NULL&&z>(*root)->elem)
        {
            BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
            p->elem=z;
            p->left=p->right=NULL;
            p->parent=*root;
            (*root)->right=p;
            return;
        }
        if(z<(*root)->elem)
            TreeInsert(&((*root)->left),z);
        else
            TreeInsert(&((*root)->right),z);
    }
    
    void CreateBSTree(BinarySearchTree *root,int length)
    {
        cout<<"create BST tree:"<<endl;
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            int key;
            cin>>key;
            tree_insert(root,key);
        }
    }
    //递归
    void inorder_tree_walk(BinarySearchTree root)
    {
        if(root)
        {
            inorder_tree_walk(root->left);
            cout<<root->elem<<" ";
            inorder_tree_walk(root->right);
        }
    }
    //非递归中序遍历
    void inoder(BinarySearchTree root)
    {
        stack<BinarySearchTree> s;
        while(root||!s.empty())
        {
            if(root)
            {
                s.push(root);
                root=root->left;
            }
            else
            {
                BinarySearchTree tmpnode=s.top();
                cout<<tmpnode->elem<<" ";
                s.pop();
                root=root->right;
            }
        }
    }
    //递归查找
    BinarySearchTree tree_search(BinarySearchTree root,int key)
    {
        if(root==NULL||root->elem==key)
            return root;
        if(key<root->elem)
            return tree_search(root->left,key);
        else
            return tree_search(root->right,key);
    }
    
    //非递归查找
    BinarySearchTree TreeSearch(BinarySearchTree root,int key)
    {
        if(root==NULL||root->elem==key)
            return root;
        while(root&&root->elem!=key)
        {
            if(key<root->elem)
            {
                root=root->left;
            }
            else
                root=root->right;
        }
        return root;
    }
    
    //非递归查找最小值
    BinarySearchTree TreeMinimum(BinarySearchTree root)
    {
        if(root==NULL||!root->left)
            return root;
        while(root->left)
            root=root->left;
        return root;
    }
    
    //非递归查找最大值
    BinarySearchTree TreeMaximum(BinarySearchTree root)
    {
        if(root==NULL||root->left)
            return root;
        while(root->right)
            root=root->right;
        return root;
    }
    
    //找后继
    BinarySearchTree TreeSuccessor(BinarySearchTree x)
    {
        if(x->right)
            return TreeMinimum(x->right);
        BinarySearchTree parent;
        parent=x->parent;
        while(parent&&parent->right==x)
        {
            x=parent;
            parent=parent->parent;
        }
        return parent;
    }
    
    //找前驱
    BinarySearchTree TreePredecessor(BinarySearchTree x)
    {
        if(x->left)
            return TreeMaximum(x->left);
        BinarySearchTree parent;
        parent=x->parent;
        while(parent&&x==parent->left)
        {
            x=parent;
            parent=parent->parent;
        }
        return parent;
    }
    
    //删除
    int TreeDelete(BinarySearchTree *root,int z)
    {
        BinarySearchTree pnode,snode;
        pnode=TreeSearch(*root,z);
        if(pnode!=NULL)
        {
            BinarySearchTree parentnode=pnode->parent;
            if(pnode->left==NULL||pnode->right==NULL)
            {
                if(pnode->left)
                {
                    if(parentnode->left==pnode)
                        parentnode->left=pnode->left;
                    else
                        parentnode->right=pnode->left;
                    pnode->left->parent=parentnode;
                }
                else if(pnode->right)
                {
                    if(parentnode->left==pnode)
                        parentnode->left=pnode->right;
                    else
                        parentnode->right=pnode->right;
                    pnode->right->parent=parentnode;
                }
                else
                {
                    if(parentnode->left==pnode)
                        parentnode->left=NULL;
                    else
                        parentnode->right=NULL;
                }
                free(pnode);
            }
            else
            {
                snode=TreeSuccessor(pnode);
                pnode->elem=snode->elem;
                if(snode==snode->parent->left)
                {
                    snode->parent->left=snode->right;
                    snode->right->parent=snode->parent;
                    cout<<"delete left:"<<endl;
                    cout<<snode->right->parent->elem<<endl;
                }
                if(snode==snode->parent->right)
                {
                    snode->parent->right=snode->right;
                    snode->right->parent=snode->parent;
                    cout<<"delete right:"<<endl;
                    cout<<snode->right->parent->elem<<endl;
                }
                free(snode);
            }
            return(0);
        }
        return(1);
    }
    
    int main()
    {
        BinarySearchTree root;
        init_binary_tree(&root);
        CreateBSTree(&root,10);
        cout<<"中序遍历:";
        inorder_tree_walk(root);
        cout<<endl;
        cout<<"delete node:"<<endl;
        TreeDelete(&root,4);
        cout<<endl;
        inorder_tree_walk(root);
    }
    View Code

    5、随机构造二叉查找树

      二叉查找上各种基本操作的运行时间都是O(h),h为树的高度。但是在元素插入和删除过程中,树的高度会发生改变。如果n个元素按照严格增长的顺序插入,那个构造出的二叉查找树的高度为n-1。例如按照先后顺序插入7、15、18、20、34、46、59元素构造二叉查找树,二叉查找树结构如下所示:

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