bzoj1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere(gauss)

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output
0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

分析：
这是学姐的guass第一题
应该是一道入门题

在我们熟悉的二维平面上，不共线的3个点确定唯一的一个圆
我们可以推广到n维：
n维平面上，不共线的n+1个点可以确定唯一的一个……嗯……球?

现在根据题目给出的n+1个点，我们可以列出n+1个如下的方程
以三维球为例：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(z1-z)^2=r^2
(x2-x)^2+(y2-y)^2+(z2-z)^2=r^2
(x3-x)^2+(y3-y)^2+(z3-z)^2=r^2
(x4-x)^2+(y4-y)^2+(z4-z)^2=r^2

只是二次式，无法用直接消元
但是我们会画柿子啊
我们把第一个柿子拆开看看：
x1^2+x^2-2x1*x+y1^2+y^2-2y1*y+z1^2+z^2-2z1*z=r^2
我们把剩下的柿子都像这样展开
分别与最后一个柿子作差
这样就可以得到形如

的（n=3）个柿子，
直接上高斯即可

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

const double eps=1e-8;
double a[20][20];
double x[20][20];
int n;

double sqr(double x){return x*x;}

int gauss()
{
    int now=1,to;
    double t;
    for (int i=1;i<=n;i++)   //枚举未知量 
    {
        for (to=now;to<=n;to++)
            if (fabs(a[to][i])>eps) break;
        if (to>n) continue;
        if (to!=now)
           for (int j=1;j<=n+1;j++)
               swap(a[to][j],a[now][j]);
        t=a[now][i];
        for (int j=1;j<=n+1;j++) a[now][j]/=t;  //系数化为一 
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (j!=now)
            {
                t=a[j][i];
                for (int k=1;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]-=t*a[now][k];
            }
        now++;
    }
    for (int i=now;i<=n;i++)
        if (fabs(a[i][n+1])>eps) return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&x[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            a[i][j]=2.0*(x[n+1][j]-x[i][j]);
            a[i][n+1]+=(sqr(x[n+1][j])-sqr(x[i][j]));
        }
    if (gauss())
        for (int i=1;i<n;i++)
            printf("%0.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("%0.3lf",a[n][n+1]);
    return 0;
}