B2128 素数个数

题目

给你一个n，求1~n的素数的个数。

素数：即约数只有1和它本身的数。

题解

这里介绍两种办法：暴力和埃氏筛。

暴力

从1~n枚举，看每个数是否为素数，是则累加。

时间复杂度：(Theta (nsqrt{n} ))

空间复杂度：(Theta (1))

埃氏筛

先预处理，枚举(i)，从(1)到(sqrt{n})，再枚举(j)，从(i)（等会解释为什么是(i)）到(n/i)，每个(i*j)（因为不只两个约数，所以不是素数）判定为非素数。

为什么(j)要从(i)开始枚举：

其实也可以从2（不能从1，因为(i)为素数）开始枚举，但2_{$i-1$的之前都以枚举过了，可以不再枚举，节省时间}~。

时间复杂度：(Theta (nlog{n} ))

空间复杂度：(Theta (n))

代码

暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int sum;
bool ss(int x)
{
	if(x<=1)return false;//0，1不是素数
	for(int i=2;i*i<=x;i++)//注意i不能从1开始枚举（因为每个数都有1这个约数），枚举到x的开方可以节省时间（也可枚举到x-1或x/2）
		if(x%i==0)//如果x能被非1或它本身的数整除，则说明x非素数
			return false;//返回非素数
	return true;//x只有两个约数，返回是素数
}
int main()
{
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(ss(i))//如果是素数
			sum++;//累加
	cout<<sum;

	return 0;
}

埃氏筛

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool a[50004];//a[i]表示i是否为素数
int sum;
void ssb(int n)
{
	memset(a,true,sizeof(a));//先假定全部为素数
	a[0]=false;a[1]=false;//0，1不是素数
	for(int i=2;i*i<=n;i++)//枚举i
		if(a[i])//如果i是素数（如果不是则说明i*j之前枚举过了，不用再次枚举）
			for(int j=i;i*j<=n;j++)//枚举j
				a[i*j]=false;//a[i*j]不是素数
}
int main()
{
	int n;cin>>n;
	ssb(n);//素数表
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(a[i])//如果是素数则累加
			sum++;
	cout<<sum;

	return 0;
}