网络流之二分图匹配【转】

原文链接:https://blog.csdn.net/sunny_hun/article/details/80627351

二分图：

　二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。——摘自百度百科

二分图匹配：

　给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)——摘自百度百科。。。。。。

匈牙利算法：

　匈牙利算法是用来找最大二分图匹配的，举一个栗子：

　通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

　　

　　本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

　　

二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

 

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

 

 此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

PS：以上内容均借(fu)鉴(zhi)于一位大佬的博客

 然后就完成了二分图匹配。

一道例题：luogu2756

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110*2;
int n,m,girl[N],used[N],edg[N][N],boy[N];
bool found(int x)
{
    for(int i=m+1;i<=n;++i)
    {
        if(!used[i]&&edg[x][i])
        {
            used[i]=1;
            if(!girl[i]||found(girl[i]))
            {
                girl[i]=x;
                boy[x]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int x,y;
    do
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        edg[x][y]=1;
    }while(x!=-1||y!=-1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(found(i)) ans++;
    }
    if(ans==0)
    {
        printf("No Solution!");
        return 0;
    }
    printf("%d
",ans);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        if(boy[i])
        printf("%d %d
",i,boy[i]);
    }
    return 0;
}

网络流做法

　　建立超级源点S和超级汇点T，然后将S与每个”男生“连一条容量为1的边，从每个“女生”向T连一条容量为1的边，然后跑最大流即可。在dfs的过程中记录下每个“男生”的妹子

上面那道题的网络流代码：

　　

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110;
const int INF=0x7fffffff;
queue<int>q;
struct node
{
    int v,nxt,w;
}e[N*N];
int head[N*N],ejs=0,S,T;
void add(int u,int v,int w)
{
    e[++ejs].v=v;e[ejs].w=w;e[ejs].nxt=head[u];head[u]=ejs;
    e[++ejs].v=u;e[ejs].w=0;e[ejs].nxt=head[v];head[v]=ejs;
}
int n,m,dep[N*N];
bool bfs()
{
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(S);
    dep[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].v;
            if(!dep[v]&&e[i].w)
            {
                dep[v]=dep[u]+1;
                if(v==T)
                return 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return 0;
}
inline int change(int x)
{
    return x%2?x+1:x-1;
}
int son[N*3];
int dfs(int u,int dist)
{
    if(u==T)
        return dist;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].v;
        if(dep[v]==dep[u]+1&&e[i].w)
        {
            int k=dfs(v,min(dist,e[i].w));
            if(k)
            {
        
                son[u]=v;
                e[i].w-=k;
                e[change(i)].w+=k;
                return k;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {

        int k=dfs(S,INF);
        while(k)
        {
            ans+=k;
            k=dfs(S,INF);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int x=0,y=0;
    T=m+n+1,S=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        add(S,i,1);
    for(int i=m+1;i<=n+m;++i)
        add(i,T,1);
    scanf("%d%d",&x,&y);
    while(x!=-1||y!=-1)
    {
        add(x,y,1);
        scanf("%d%d",&x,&y);
    }
    int k=dinic();
    if(!k)
    {
        printf("No solution!");
        return 0;
    }
    printf("%d
",k);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        if(son[i])
        printf("%d %d
",i,son[i]);
    }
    return 0;
}