学习笔记-线代

一、行列式

行列式的概念

概念：数   不同行不同列元素乘积的代数和

二阶行列式的计算方法：

 三阶行列式的计算方法：

 排列：由1，2...，n组成的有序数组称为一个n阶排列，通常用j_1，j_{2 ，}...j_n表示n阶排列。

逆序：一个排列中，如果一个大的数排列在一个小的数的前面，就称这两个数构成一个逆序。

 逆序数：一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数。

 如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则称为奇排列。

 n阶行列式：不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

    当j_1，j_2 ，...j_n是偶排列时，该项前面带正号，当j_1，j_2 ，...j_n 时奇排列时，该项前面带负号。

上三角以及下三角行列式的计算方法：

行列式的性质

　　1、经转置行列式值不变

　　2、某行有公因数k可把k提出

　　　　　特别地，若某行元素全为0，则D=0

　　3、两行互换行列式的值变号

 　　　　　　特别地，两行相同=>D=0两行成比例=>D=0

　　4、某行所有元素都是两个数的和，则可把行列式写成两个行列式之和

　　5、某行的k倍加到另一行，行列式的值不变

注意：1.不要与矩阵初等变换相混。

　　　2、不要与矩阵运算相混

展开公式

行列式按行（列）展开公式：

　　余子式： M_ij

　　代数余子式：A_ij=(-1)^i+jM_ij

展开公式

　　1、按行按列展开：

　　2、某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于0。

重要公式：

　　　　1、主对角线上下三角：a₁₁a₂₂...a_nn

　　　　2、副对角线上下三角：（-1）^n(n-1)/2a_1na_{2 n-1}...a_n1

　　　　3、

　　　　4、

克拉默法则：

　　　　如果系列行列式D=|A|≠0，则方程组有唯一解，且：

 　　　　　　　　　　其中D_i=

　　　　推论1，若齐次方程组　　　　　　　　　　　的系数行列式不为0，则方程组只有一组零解x₁=0，x₂=0，...，x_n=0。

 　　　　推论2，若齐次方程组（2）有非零解，则它的系数行列式必为0.

强化阶段

1、 数字型（展开公式）

　　把第1行的k倍加到某i行

　　把每一行都加到第1行

　　逐行相加

2、证明题用到归纳法时

　　当只与一项有关系时，用方法①，当与两项有关系时，用方法②。

　　①1、验证n=1时，命题正确

　　　2、设n=k时，命题正确

　　　3、证明n=k+1时，命题正确

　　　4、得证

 　　②1、验证n=1，n=2命题正确

　　　2、设n<k命题正确

　　　3、证明n=k命题正确

　　　4、得证

3、抽象型

　　行列式性质恒等变形

　　矩阵公式，法则恒等变形，E恒等变形

　　特征值，相似

　　注意：

4、应用

　　特征多项式，A^*,A^-1,相关，无关，正定，克拉默法则。

5、证|A|=0

　　Ax=0有非零解

　　反证法     用A^-1找矛盾

　　r(A)<n

　　0是特征值     |A|=∏λ_i

　　|A|=-|A|

二、矩阵

概念、运算（乘法）

m✖n个数排列成如下m行n列的一个表格：

 　　称为是一个m✖n矩阵，当m=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵，简记A。

如果一个矩阵的阶所有元素都是0，即

 　　称这个矩阵为零矩阵，简记0.

如A和B都是m✖n矩阵，称A和B是同型矩阵，设A和B都是m✖n矩阵，如

 　　称矩阵A和B相等，记A=B。

设A为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式，称为方阵A的行列式，记为|A|。

　　注意：1、仅方阵才有行列式|A|。

　　　　　2、A=0与|A|=0不要混。

矩阵的加法（其中A，B都为m✖n阶矩阵）：

 数与矩阵相乘：数k与矩阵A的乘积

运算法则：

　　加法：A，B，C同型

　　　　　A+B=B+A

　　　　　(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

　　　　　A+0=0+A=A

　　　　　A+(-A)=0

数乘运算：

　　　　k(mA)=m(kA)=(mk)A

　　　　(k+m)A=kA+mA

　　　　k(A+B)=kA+kB

　　　　1A=A,0A=0

乘法运算：

　　A——m✖s，B——s✖n

　　AB=C——m✖n

　　a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_isb_sj=C_ij

注意：

　　1、AB≠BA

　　2、由AB=0不能推出A=0或B=0

　　3、由AB=AC且A≠0不能推出B=C

单位矩阵E：

运算法则：

　　（AB)C=A(BC)=ABC

　　   A(B+C)=AB+AC

　　   (A+B)C=AC+BC

　　   AE=A,EA=A

　　   A——n阶：A.A=A²

　　　　　　　A.A...A(k个A相乘)=A^k

转置：将A矩阵的行列互换得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记为A^T

　　运算法则：

　　　　　　（A+B）^T=A^T+B^T

　　　　　　  (kA)^T=kA^T

　　　　　　   (AB)^T=B^TA^T

　　　　　　  (A^T)^T=A

定理（行列式乘法公式）：设A，B都是n阶矩阵，则|AB|=|A|.|B|

伴随矩阵，可逆矩阵

A-n阶矩阵，行列式|A|所有的代数余子式A_ij所构成的如下矩阵：

　　　　主对角线互换，副对角线变号。

伴随矩阵的公式：AA^*=A^*A=|A|E

　　　　　　　　(kA)^*=k^n-1A^*

　　　　　　　 　|A^*|=|A|^n-1

　　　　　　　  （A^*)^*=|A|^n-2A

　　　　　　　  （A^*）^-1=（A^-1）^*=A/|A|

可逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使AB=BA=E则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

命题：如矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的，记作A^-1

定理：A可逆<=>|A|≠0

推论：A，B是n阶矩阵，如AB=E，则A^-1=B

逆矩阵的公式法则：
　　1、如A可逆，则A^-1也可逆，且（A^-1)^-1=A

　　2、如A可逆，且k≠0，则kA可逆，且（kA）^-1=A^-1/k

　　3、如A，B均可逆，则AB也可逆，且（AB）^-1=B^-1A^-1    特别的（A²）^-1=(A^-1)²,(Aⁿ)^-1=(A^-1)ⁿ

　　4、如A可逆，则A^T也可逆，且（A^T)^-1=(A^-1)^T

 注意：

　　1、如A可逆，则|A^-1|=1/|A|

　　2、当A,B,A+B都可逆时，一般（A+B）^-1≠A^-1+B^-1

求逆：

　　1、定义法 AB=E

　　2、用伴随 A^-1=A^*/|A|

　　3、初等行变换：

 4、分块：

 对角矩阵：

注意：

初等变换，初等矩阵

矩阵的初等变换：
　　1、用非0常数k乘A某行的每个元素

　　2、互换A中两行元素的位置

　　3、把A中某行所有元素的k倍加到另一行对应的元上

初等矩阵：

　　单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。

 关键点：

　　初等矩阵P左乘矩阵A，其乘积PA就是矩阵A作一次与P同样的行变换。

　　初等矩阵P右乘矩阵A，其乘积AP就是矩阵A作一次与P同样的列变换。

 初等矩阵的逆：均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵。

行阶梯矩阵：

　　1、如果有零行，则零行在矩阵的底部。

　　2、每个非零行的主元（即该行最左边的第1个非0元）所在列下面元素都是0。

 行最简：

　　一个行阶梯矩阵，如果还满足：非零行的主元都是1，且主元阶在列的其他元素都是0

重要结论：

A可逆=A可表示为若干初等矩阵的乘积。

分块矩阵

 设A，B分别是m阶，n阶，则有：

若A为m✖n阶矩阵，B为n✖s阶矩阵，则：AB=A（b₁b₂...b_s)=（Ab_1,Ab₂...,Ab_s)

方阵的行列式

1、|A^T|=|A|

2、|kA|=kⁿ|A|

3、|AB|=|A|.|B|            |A²|=|A|²

4、|A^*|=|A|^n-1

5、|A^-1|=1/|A|

6、

 秩（矩阵）

1、k阶子式：A-m✖n，任取k行与k列（k<=m,k<=n)位于交叉点的k²元素，按A中的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

 2、矩阵的秩：A-m×n，如存在r阶子式D≠0，且所有r+1阶子式（如存在）全为0，则称矩阵A的秩为r，记作r（A）=r。并规定零矩阵的秩为0.

 定理：经初等变换矩阵的秩不变。

 　　r（A）=A的列向量秩=A的行向量的秩

 　　r（A）=r<=>A中存在r阶子式不为0，而每一个r+1阶（如果有）子式全为0.

 　　r（A）>=1<=>A≠0

 矩阵秩的公式：

1、r（A^T）=r（A）

2、r（kA）=r（A）k≠0

　　r（0E-A）=r（A)

　　r（A-E）=r（E-A）

 3、r（A+B）<=r（A）+r（B）

4、r（AB）<=min（r（A），r（B））

　　若A可逆

　　r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）

5、r（A^TA）=r（A）

 6、A——m✖n，B——n✖s且AB=0，则r（A）+r（B）<=n

7、

若A~B ，则r（A）=r（B）

　　　　　r（A+kE）=r（B+kE）

正交矩阵

A-n阶，满足AA^T=A^TA=E，称A为正交矩阵。

 （1）A是正交矩阵<=>A^T=A^-1

 （2）A是正交矩阵=>|A|=1或-1

 （3）内积

　　如（α，β）=0称α与β正交

强化阶段

一、概念，运算

　　乘法

　　αβ^T，βα^T，αα^T，β^Tα，α^Tβ，α^Tα

　　分块

　　求Aⁿ

　　（1）如r（A）=1，有A=αβ^T      =>A²=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=λA,λ=β^Tα∑a_ii    迹     A^_n =λ^n-1A

　　（2）

 二、伴随矩阵，可逆矩阵

　　AA^*=A^*A=|A|E         求逆，证可逆

 　　求A^*的方法

　　　（1）直接法：用定义       不要丢+，-号，不要排错队

　　　（2）间接法：A^*=|A|A^-1

 三、初等变换，初等矩阵

四、矩阵的秩

　　行列式，相关，无关，方程组的解。

五、当秩为1时，有如下结论：

三、向量

概念，运算

n维向量：n个数a₁,a₂,...,a_n构成的有序数组称为n维向量。

　　a_i称为向量的第i个分量（i=1，2，...，n)

如果向量的所有分量都是0，就称其为零向量，记作0=（0，0，...，0）^T

 设n维向量：

加法与数乘满足：

线性表示

定义：m个n维向量α₁，α₂，...，α_m，及m个实数k₁，k₂，...，k_m。称：k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m是向量α₁，α₂，...，α_m 的一个线性组合，k₁，k₂，...，k_m称为这个线性组合的系数。

 定义：如果向量β能表示为α₁，α₂，...，α_m的线性组合，即存在一组数k₁，k₂，...，k_m使β=k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m则称向量β可以由α₁，α₂，...，α_m线性表出（示）。

 定理：向量β可以由α₁，α₂，...，α_m线性表示<=>任意实数k₁，k₂，...，k_m 使k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=β

 已知α，β₁，β₂，β₃，γ₁，γ₂是n维向量，若α可由β₁，β₂，β₃ 线性表示，β₁，β₂，β₃ 可由γ₁，γ₂ 线性表示，则α可由γ₁，γ₂ 线性表示。

 定义：设向量组（Ⅰ）α₁，α₂，...，α_s；（Ⅱ）β₁，β₂，...，β_t；若（Ⅰ）中每一个向量α_i（i=1，2，...，s）均可由（Ⅱ）线性表示，则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示。若向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）可以互相线性表示，则称向量组（Ⅰ）和(Ⅱ）等价。

相关、无关

定义：对m个n维向量α₁，α₂，...，α_m ，若存在不全为0的实数k₁，k₂，...，k_m 使k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=0成立，则称向量组α₁，α₂，...，α_m 线性相关，否则称其线性无关。

定理：n维向量α₁，α₂，...，α_{m  线性相关}

　　<=>存在不全为0的k₁，k₂，...，k_m 是k₁α₁₊k₂α₂+...+k_mα_m=0

　　<=>存在不全为0的k₁，k₂，...，k_m 使

　　<=>齐次方程组

　　　　有非0解

 　　　　<=>γ（α₁，α₂ ，...，α_n ）<m

 　　推论：

　　　　1、n个n维向量α₁，α₂，...，α_n   相关<=>|α₁，α₂，...，α_n |=0。

　　　　2、n+1个n维向量必线性相关。

α 相关<=>α=0

α₁，α₂相关<=>α₁，α₂ 共线

α₁，α₂ ，α₃相关<=>α₁，α₂ ，α₃ 共面

 推论3：如α₁，α₂ ，...，α_s  线性相关，则α₁，α₂ ，...，α_s  ，...,α_t必线性相关
 推论4：

定理：向量组α₁，α₂ ，...，α_s  （s>=2)线性相关<=>至少有一个向量α_i可由其余向量α₁，...α_i-1 ，α_i+1...，α_s 线性表出。

 定理：如n维向量α₁，α₂ ，...，α_s   线性无关，而α₁，α₂ ，...，α_s β线性相关，则向量β必能由α₁，α₂ ，...，α_s 线性表示且表示法唯一。

秩（向量组）

向量组的秩

定义：在向量组α₁，α₂ ，...，α_s 中，如存在r个向量α_i1，α_i2 ，...，α_ir 线性相关，再添加任一个α_j（j1，2，...，s），向量组α_i1，α_i2 ，...，α_ir  α_j就线性相关，则称α_i1，α_i2 ，...，α_ir  是向量组α₁，α₂ ，...，α_s  的一个极大线性无关组。（子集合，无关，再添加就相关）

 定理：如α_i1，α_i2 ，...，α_ir  与α_j1   α_j2 ...，α_jt 都是向量组α₁，α₂ ，...，α_s  的极大无关组，则r=t。

定义：向量组α₁，α₂ ，...，α_s  的极大线性无关组中所含向量的个数γ称为向量组的秩，记为γ（α₁，α₂ ，...，α_s  ）=γ。

　　只有零向量的向量组，规定其秩为0.

 　　极大线性无关组的等价定义

　　设向量组α_i1，α_i2 ，...，α_ir  是向量组α₁，α₂ ，...，α_s 的 一个部分组，且满足：

　　　　（1）α_i1，α_i2 ，...，α_ir   线性无关。

　　　　（2）任一个向量α_j（j1，2，...，s）都能由α_i1，α_i2 ，...，α_ir  线性表示。

定理：如α₁，α₂ ，...，α_s 可由β₁ β₂ ...β_t 线性表示，则γ（α₁，α₂ ，...，α_s ）<=γ（β₁ β₂ ...β_t  )。

正交化

　　①

　　②

强化阶段

1、证α₁α₂...α_s无关

　　（1）定义法

 　　(2)　　重要结论：

2、线性表示

　　做证明题方法：

　　（1)构造方程组，证明方程组有解

　　（2）找出两个条件：

　　（3）证k≠0（能表出）

　　（4）反证法（不能表出）

四、方程组

一、Ax=0   基础解系   n-r（A）

定理：A_m✖n  X=0有非0解<=>r(A)<n

　　　　　　　　　　　　<=>A的列向量组线性相关。

 推论：

　　1、当m<n时，AX=0必有非0解

　　2、当m=n时，Ax=0有非零解<=>|A|=0

定理：若Ax=0系数矩阵的秩r(A)=r<n则Ax=0有n-r个线性无关的解，且Ax=0的任一个解都可由这n-r个线性无关的解线性表出。

Ax=0的 基础解系

 定理：

二、Ax=b   有解判定  解的结构

解的性质

（1）

 （2）

定理：

 定理（解的结构）

三、方程组的应用

解方程组手段：

　　同解变形：1、将两个方程的位置互换

　　　　　　　2、将某个方程乘以一个非0的常数

　　　　　　　3、将一个方程的k倍加到另一个方程上

五、特征值

一，特征值，特征值向量

定义：设A是n阶矩阵，α是n维非0列向量且Aα=λα，则称λ是矩阵A的特征值，α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

由Aα=λα，α≠0

　=>(λE-A)α=0    (λE-A)x=0 

　=>α是齐次方程组(λE-A)x=0 的非0解。

 （1）由|λE-A|=0，求特征值λ_i  共n个（含重根）

   (2)对（λ_iE-A）x=0求基础解系，即特征值λ_i的线性无关的特征向量，写通解得λ_i所有的特征向量

 定理：A-n阶

重要结论：

 　　1、如α₁，α₂都是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，则α₁+α₂≠0时，α₁+α₂仍是矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

　　2、若α₁，α₂ 分别是矩阵A不同特征值λ₁和λ₂的特征向量，则α₁+α₂ 不是矩阵A的特征向量。

二、相似矩阵

设A，B都是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P是P^-1AP=B，就称矩阵A相似于矩阵B，B是A的相似矩阵记成A~B。

相似的基本性质：

　　1、A~A

　　2、如A~B，则B~A。

　　3、如A~B，B~C，则A~C。

相似对角化     P^-1AP=Λ

　　如A~Λ，则称矩阵A可相似对角化。

定理：A~Λ<=>A有n个线性无关的特征向量

推论：如A有n个不同的特征值，则A~Λ。

定理：A~Λ<=>λ是A的k重特征值，则λ有k个线性无关的特征向量。

三、实对称矩阵

概念：主对角线不看，其他部分关于主对角线对称分布。

定理：实对称矩阵必可相似对角化。

定理：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。

 定理：实对称矩阵必存在正交矩阵Q使Q^-1AQ=Q^TAQ=Λ

解题基本步骤：

　　1、求出A的特征值λ₁，λ₂，λ₃

　　2、求出对应的特征向量α₁，α₂，α₃

　　3、改特征向量为γ₁，γ₂，γ₃

　　　　（1）如特征值不同，只需单位化。

　　　　（2）若特征值有重根。

　　　　　　①如特征向量已正交，只需要单位化。

　　　　　　②如特征向量不正交，需Schmidt正交化。

　　4、构造正交矩阵Q=(γ₁，γ₂，γ₃ )

强化阶

求可逆矩阵P使P^-1AP=Λ

　　1、预处理

　　2、求特征值λ₁λ₂λ₃

　　3、求特征向量α₁α₂α₃

　　4、构造可逆P

六、二次型

一、基本概念

1、二次型及其矩阵表示

2、标准形

　　只有平方项，没有其他不同项。

 3、规范性

　　是标准型，并且系数为1，-1，0中的一个。

 4、正惯性指数，负惯性指数

　　标准形系数正负的个数，正惯性指数用p，负惯性指数用q

 5、二次型的秩

　　r(f)=r(A)

 6、坐标变换

　　系数行列式可逆。

7、合同

　　如C^TAC=B,C-可逆矩阵，称矩阵A和B合同，记作

　　定理1、

　　定理2、对任一二次型x^TAx，都存在坐标变换可将其化为标准形，即

　　定理3（惯性定理）二次型经坐标变换其正负惯性指数都不变。

二、标准形（1、配方法2、正交变换法）

1、配方法：先配x₁，再配x₂,最后配x₃,按顺序进行。

2、正交变换法：就是转换为求特征值，和特征向量问题。

三、正定二次型

定义：设二次型f(x)=X^TAX,如，恒有f(x)>0，则称f为正定二次型，二次型矩阵A称为正定矩阵。

定理：经坐标变换不改变二次型的正定性。

定理（正定的充分必要条件）

　　　X^TAX正定

　　<=>p=n

　　<=>(即存在可逆C，使C^TAC=E)

　　　　　　　　　　亦A=D^TD,D-可逆

　　<=>A的特征值全大于0

 　　<=>A的顺序主子式全大于0