学数学

费马小定理：$a^p equiv a (mod  p)$

扩展—欧拉定理：$x^n equiv x^{n - varphi(n)}$

p的缩系：{x|(p,x) = 1}

欧拉函数定义：$varphi(x) = xprod_{i=1}^{n} (1 - frac{1}{p_i})$

n!中p的次数：$sum_{i = 1}^{infty} (frac{n}{p_i}) = frac{n - S_p(n)}{p - 1}$，其中$S_p (n)$ 表示 n % p （即p进制下n的最低位

$ p mid dbinom{n}{m} Leftrightarrow S_p(n) = S_p(m) + S_p(n - m)$ 所以n的p进制每一位都要比m的p进制大
不知道叫什么定理1：$(1 + x)^p equiv 1 + x^p (mod p)$
Lucas定理：$dbinom{m}{n} equiv prod_{i = 0}^k dbinom{m_i}{n_i} (mod p)$

其中$overline{m_k quad,quad m_{k-1} quad……quad,quad m_0} $  (p进制) $overline{n_k quad,quad n_{k-1}  quad……quad,quad n_0} $  (p进制)

这有什么用呢？比如说我们可以证明满足$dbinom{n}{k} equiv 1(mod 2), (0 le k  le n)$ 的k的个数一定是2的幂次个
不知道叫什么定理2：$sum_{d | n} varphi(d) = n$
不知道叫什么定理3：$varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$

关于原根：

1：m > 0, (a, m) = 1, 使$a^r equiv 1 (mod m)$ 成立的最小的r，称为a对膜m的阶，记为$delta_m (a)$，原根的个数为$varphi(varphi(m))$

2：m > 1, (a, m) = 1  $a^n equiv 1 (mod m)$ 则 $delta(a) | n$

3：若p是质数，那么p一定有原根，且在膜p下有$varphi(p - 1)$ 个原根

4：a在膜m下阶为$varphi(m)$，则a为膜m下一个原根。

证明：令$gamma(n)$表示最小的解，那么问题就转化成了证明

$left {

egin{array}

gamma quad 积性 \

gamma(q^d) = q^d - q^{d - 1}

end{array} 

ight. $