HDU5667—Sequence（对数转化）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

题目意思：f1=1，i=1

　　　　　f2=2 ，i=2

　　　　　fi=a^b*f[i-1]^c*f[i-2] i>2

思路：发现a^b，和f[i-1]^c之类的东西，我们很明显吧这个幂变成乘，很自然的想到对数。问题是对什么取对数，最后发现对a取对数是合适的。

loga（fi）=loga（a^b*f[i-1]^c*f[i-2]）=loga(a^b)+loga(f[i-1]^c)+loga(f[i-2])，我们设k[i]=loga(fi)，所以k[i]=b+c*k[i-1]+k[i-2]。我们可以通过矩阵快速幂算出k[n]，然后a^k[n]=f[n]，可以直接用快速幂算出。

这里注意一下，由于k[n]非常大，所以为了使得a^k[n]%p==(a^(k[n]%y))%p，根据费马小定理如何gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），所以a^(p-1)%p=a^0%p，所以循环节为p-1，所以a^(k[n]%(p-1))%p。

这里还有注意一下如果a%p==0，a^(k[n]%(p-1))%p当k[n]=p-1的时候，a^(k[n]%(p-1))%p=1，但是实际上a^(k[n]%(p-1))%p=0，会造成错误，所以需要特判a%p==0的情况，不过这个题好像后台题目有点水，不必判断也能过貌似，所以代码里面没有体现

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
LL p,aa,bb,cc,n,mod; //mod为p-1
struct matrix
{
    LL mat[3][3];
};
matrix pow1(matrix a,matrix b) // N^3的矩阵相乘
{
    matrix c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i=0;i<3;i++){
        for(int j=0;j<3;j++){
            for(int k=0;k<3;k++){
                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);
                c.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix cheng(matrix a,LL y) //矩阵快速幂
{
    matrix b;
    memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
    for(int i=0;i<3;i++) b.mat[i][i] = 1;
    while(y){
        if(y&1){
            b = pow1(a,b);
            y-=1;
        }else {
            a = pow1(a,a);
            y/=2;
        }
    }
    return b;
}
LL quick_pow(LL a,LL tmp) //对a进行快速幂
{
    LL b = 1ll;
    while(tmp)
    {
        if(tmp&1) b=(a*b)%p;
        a=(a*a)%p;
        tmp>>=1;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&aa,&bb,&cc,&p);
        matrix ma;
        mod = p-1;
        memset(ma.mat,0,sizeof(ma.mat));//初始化递归矩阵
        ma.mat[0][0] = cc; ma.mat[0][1] = 1; ma.mat[0][2] = bb;
        ma.mat[1][0] = 1; ma.mat[2][2] = 1;


        ma = cheng(ma,n-2); //算指数和直接幂有点不同
        LL tmp = ma.mat[0][0]*bb + ma.mat[0][2]; //取出指数
        LL ans = quick_pow(aa,tmp);
        printf("%lld
",ans);

    }
    return 0;
}