【GDKOI2017】小队任务 莫比乌斯反演+杜教筛

题目大意：给你n，求$sum_{i=1}^{n}sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

子任务一：暴力

子任务二：$T=50000,n≤10^7$

子任务三：$T=3，n≤10^{10}$

 

解法一：

我们化一下这个式子

$sum_{i=1}^{n}sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

$=sum_{i=1}^{n}sum_{j=i}^{n}sum_{k|gcd(i,j)} mu(k)(i+1)(j+1)$

$=frac{1}{2}igg(4+sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{Q}sum_{j=1}^{Q}(di+1)(dj+1)igg)$其中$Q=lfloor frac{n}{d} floor $，下面同理

$=frac{1}{2}igg(4+sum_{d=1}^{n}mu(d)(Q^2+d(1+Q)Q^2+d^2(frac{(1+Q)Q}{2})^2)igg)$

不难发现，这个式子可以预处理出$mu(i)$的前缀和，然后通过根号分块的方法，实现单次$O(sqrt{n})$时间复杂度的询问操作。在前两个子任务中，时间复杂度为$O(Tsqrt{n})$。

在第三个子任务中，我们采用杜教筛求$mu$的前缀和，即可实现求得答案。

但是问题在于，该题单点的时限为15s，本蒟蒻经过大力卡常后，第二个子任务依然只能在17s左右跑出。

 

我们考虑换一个做法，还是刚才的式子

$sum_{i=1}^{n}sum_{j=i}^{n}[gcd(i,j)=1](i+1)(j+1)$

考虑到要让$gcd(i,j)=1$,那么在i不变的情况下，共有$varphi(i)$个数，它们的和为$frac{1}{2}i imes varphi(i)$。

那么原式为：

$=frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}(i+1)(i+2)varphi(i)$

$=frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}igg(2(i+1)varphi(i)+i(i+1)varphi(i) igg)$

$=frac{1}{2}igg( 2sum_{i=1}^{n}varphi(i)+3sum_{i=1}^{n}ivarphi(i)+sum_{i=1}^{n}i^2varphi(i) igg)$

该式子，我们可以预处理出$varphi(i)$，$ivarphi(i)$，$i^2varphi(i)$的前缀和，那么当n≤10^7时，可以实现O(1)求得答案

对于第三个子任务，$n≤10^{10}$，显然不可以预处理到$10^{10}$，求$varphi(i)$，$ivarphi(i)$，$i^2varphi(i)$的前缀和，我们可以通过杜教筛+预处理实现$O(n^{frac{2}{3}})$的单次询问，可以通过第三个子任务。

杜教筛部分详见代码，在此不再展开。

完结撒花

#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define MOD 1000000007
#define I2  500000004
#define I6  166666668
#define M 19890604
using namespace std;
int pri[M/10]={0},b[M]={0},use=0;
int phi[M][3]={0};

L get(L n,L op){
    n%=MOD;
    if(op==0) return n;
    if(op==1) return ((1+n)*n/2)%MOD;
    if(op==2) return n*(n+1)%MOD*(2*n+1)%MOD*I6%MOD;
    n=(n*(n+1)/2)%MOD; return n*n%MOD;
}
map<L,L> mp[3];
L PHI(L n,L k){
    if(n<M) return phi[n][k];
    if(mp[k][n]) return mp[k][n];
    L res=get(n,k+1);
    for(L i=2,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        res=(res-(get(j,k)-get(i-1,k))*PHI(n/i,k))%MOD;
    }
    return mp[k][n]=res;
}

L Main(){
    L n; scanf("%lld",&n);
    L p1=PHI(n,0),p2=PHI(n,1),p3=PHI(n,2);
    L ans=(p1*2+p2*3+p3)%MOD*I2%MOD;
    printf("%lld
",(ans+1+MOD)%MOD);
}

int main(){
    phi[1][0]=phi[1][1]=phi[1][2]=1;
    for(L i=2;i<M;i++){
        if(b[i]==0) pri[++use]=i,phi[i][0]=i-1;
        for(L j=1;j<=use&&i*pri[j]<M;j++){
            b[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]][0]=phi[i][0]*pri[j]; break;}
            phi[i*pri[j]][0]=phi[i][0]*(pri[j]-1);
        }
    }
    for(L i=1;i<M;i++){
        phi[i][2]=(phi[i-1][2]+1LL*i*i%MOD*phi[i][0])%MOD;
        phi[i][1]=(phi[i-1][1]+i*phi[i][0])%MOD;
        phi[i][0]=(phi[i-1][0]+phi[i][0])%MOD;
    }
    L cas; cin>>cas;
    while(cas--) Main();
}