作者：桂。
时间：2017-04-06 12:29:26
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前言
之前在梳理最小二乘的时候，矩阵方程有一类可以利用非负矩阵分解（Non-negative matrix factorization, NMF）的方法求解，经常见到别人提起这个算法，打算对此梳理一下。优化问题求解，最基本的是问题描述与准则函数的定义，紧接着才涉及准则函数的求解问题，本文为NMF系列第一篇，主要梳理：
1）矩阵方程基本问题；
2）准则函数定义；
内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。
一、矩阵方程基本问题
本段描述NMF对应的基本问题。
许多问题都可以建模成矩阵方程：
${f{AS}} = {f{X}}$
其中根据向量
和矩阵
的不同，矩阵方程的求解主要分为以下三类问题：
1）超定矩阵方程；m>n，$f{X}$和$f{A}$均已知，其中之一或二者可能存在观测误差、干扰；
2）盲矩阵方程：仅向量$f{X}$已知，矩阵$f{A}$未知；
3）欠定稀疏矩阵方程：m<n，$f{X}$和$f{A}$均已知.
每一类问题，都有对应的方法：如对于盲矩阵方程，由于只有观测向量$f{X}$，因此引入误差的时候只能假设观测向量存在误差，而不会像最小二乘那样分为普通最小二乘、数据最小二乘、总体最小二乘。给出矩阵方程及对应求解的示意图：
其实${f{AS}} = {f{X}}$仅仅是一个线性表达，求解本身没有非负的限制。但对于现实中很多应用：比如一张图片，可以认为它由鼻子、眼睛、眉毛...等等拼成，每一个成分对应一些像素值，而这些理论上都应该是非负的，因此在一些矩阵求解问题中，我们希望加入非负的限制。本系列文章主要针对其中的：盲矩阵方程求解——非负矩阵分解算法。
二、准则函数定义
这里只分析最常用的两类准则函数，对于广义AB-散度不作讨论。假设非负矩阵${f{X}}$可以分解成：
${f{AS}} = {f{X}}$
由于观测数据${f{X}}$难免带来误差，因此有：
${f{X}} = {f{AS}} + f{N}$
针对误差最小化，引入准则函数：
下面分析准则函数$Dleft( {{f{X}}|{f{AS}}} ight)$.
A-平方欧几里得（Euclidean）距离
当假设误差服从正态分布时，此时的最大似然估计与最小二乘等价，此时对应的准则函数为平方Euclidean距离，有时为了求导方便常添加比例系数1/2：
B-Kullback-Leibler（KL）散度
1-KL定义
首先给出KL散度定义：
KL散度与Euclidean距离不同，是非对称的。
2-KL的含义
KL不像Euclidean那么直观，这就有了一个疑问？这么古怪的家伙是从哪冒出来的？
下面一点点理解。
从图中很容易求解$(x_0,y_0)$处的切线方程，其实$x$如果接近$x_0$，这就是一阶Taylor近似，写成更一般的形式：
一阶Taylor逼近的误差则定义为：
推广开来这就是Bregman距离：
令$phi $:
为定义在闭合凸集
的一连续可微分凸函数。与函数$phi $对应的两个向量：
之间的Bregman距离记作：
，定义为：
如果$phi $取凸函数：
其实如果$x_i$看作是概率密度，这个就是熵的表达式啊，也就是这里函数调用熵的形式。此时，Bregman距离对应的就是Kullback-Leibler散度，也叫信息散度、信息增益、相对熵、I散度。
从而可以得到：
对号入座，同样可以得出准则函数：
这样一来，KL散度的实际意义就比较明显了：它表达了不同信息熵一阶Taylor的近似，如果细究，二阶、三阶....Taylor近似同样可以得出。
3-KL对应分布
Euclidean距离对应：误差服从正态分布，KL散度是不是也该对应某种分布？答案是当然——泊松分布。泊松分布前面有文章分析过。泊松分布就常见的计数过程，描述的是一段时间事件发生的次数，与它关联较大的一个是二项分布，一个是指数分布。不过这里分析完之后，是不是该多出一个疑问：泊松分布与信息熵有何关系？下面说说泊松分布为什么可以对应KL散度。
给出泊松分布的定义：
从而对于两个分布：
概率相比并取对数：
已经有点KL散度的味道了，因为$x$是随机数，所以需要进行基于统计意义的均值计算：
KL散度就这么推导出来了。
参考：
张贤达《矩阵分析与应用》