CSPS 2021 T2 括号序列 题解

题面

考场上想了 114514 年都没想出怎么直接不算重，然后写了个容斥减掉算重的调了 1919810 年还没调出来（貌似这样做不行？）/kk

看到 \(n\le 500\) 一眼区间 dp。

设 \(f_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 成为合法括号序列的答案。转移的话直接按照题目的方式转移就是了。

但是很明显像 ()()() 这样的序列会算重。。。

于是考虑对于 AB、ASB 这样的转移，强制让它只从 \([i,\) 第一个左括号匹配的右括号的位置 \(]\) 转移过来。

可以考虑设 \(g_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 只由 ()、(S)、(A)、(SA)、(AS) 转移过来的合法序列个数。

这样就解决会算重的问题了。

实现时务必注意细节。

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)
#define DC int T = gi <int> (); while (T--)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

template <typename T>
inline T gi()
{
    T f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 503, M = N << 1, mod = 1000000007;

int n, K;
int f[N][N], g[N][N], sum[N][N];
char s[N];
bool p[N][N];
int mn[N];

inline bool Can(int pos, char c) {return s[pos] == c || s[pos] == '?';}
inline void Add(int &x, int y) {x = (x + y) % mod;}

int main()
{
	//File("");
	n = gi <int> (), K = gi <int> ();
	scanf("%s", s + 1);
	memset(mn, 0x3f, sizeof mn);
	for (int i = 1; i <= n; i+=1)
		for (int j = i; j <= min(i + K - 1, n); j+=1)
			if (Can(j, '*')) p[i][j] = true, mn[j] = min(mn[j], i);
			else break;
	for (int len = 2; len <= n; len+=1)
		for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i+=1)
		{
			int j = i + len - 1;
			sum[i][j] = sum[i][j - 1];
			if (!Can(i, '(') || !Can(j, ')')) continue;
			if (len == 2) {f[i][j] = g[i][j] = 1; Add(sum[i][j], f[i][j]); continue;}
			if (p[i + 1][j - 1]) f[i][j] = g[i][j] = 1;
			for (int k = i; k < j; k+=1)
				Add(g[i][j], 1ll * f[i][k] * g[k + 1][j] % mod);
			for (int l = i + 1; l < j; l+=1)
				if (mn[l] != 0x3f3f3f3f)
				{
					int tmp = max(mn[l], i + 1);
					Add(g[i][j], 
						1ll * g[l + 1][j] * 
						((sum[i][l - 1] + mod - sum[i][tmp - 2]) % mod) % mod);
				}
			Add(f[i][j], g[i + 1][j - 1]), Add(g[i][j], g[i + 1][j - 1]);
			for (int k = i + 1; k <= min(i + K, j - 2); k+=1)
				if (p[i + 1][k]) 
					Add(f[i][j], g[k + 1][j - 1]), Add(g[i][j], g[k + 1][j - 1]);
				else break;
			for (int k = max(i + 2, j - K); k < j; k+=1)
				if (p[k][j - 1])
					Add(f[i][j], g[i + 1][k - 1]), Add(g[i][j], g[i + 1][k - 1]);
			Add(sum[i][j], f[i][j]);
		}
	printf("%d\n", g[1][n]);
	return 0;
}