序列自动机总结与例题

构造

(a)是字符集，(|s|=n)，(nxt[i][j])表示(i)以后的第一个字符(j)的位置，(0)为根节点，整个图是一个(DAG)

for(LL i=n;i>=1;--i){
    for(LL j=1;j<=a;++j) nxt[i-1][j]=nxt[i][j];
    nxt[i-1][s[i]]=i;
}

扩展构建

当字符集较大时，可套用可持久化，在叶子节点放一个(id)，表示出边

相关例题：
字符串(K)小子序列，可持久化序列自动机，维护节点大小

一步一步(从首到尾)走，有序确定code

经典例题

判断是否是原字符串的子序列

构造出了(nxt)后，从根跑一遍就好了

求子序列个数

从根跑，记忆化搜索，(f[x])为点(x)为首的子序列个数，(f[y]=(sumlimits_{xin y'son}f[x])+1)

求两串的公共子序列个数

两串都构造一下，之间跑就好了

LL Dfs(LL x,LL y){
    if(f[x][y]) return f[x][y];
    for(LL i=1;i<=a;++i)
        if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i])
            f[x][y]+=Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]);
    return ++f[x][y];
}

求字符串的回文子序列个数

原串与反串都建一遍

[egin{aligned}longrightarrow 1~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9~~10&\ 10~~9~~8~~7~~6~~5~~4~~3~~2~~1&longleftarrow\ end{aligned}]

就相当于从左右端点这样跑

求的时候显然(x+y≤n+1)这个序列才是合法的

(x+y=n+1)时就是会合了一样，在之后的遍历过程会(++f[x][y])，所以暂时不统计

但是其他情况我们都是匹配的两个字符，也就是只会统计(abba)，而统计不了(aba)，所以在过程中(++f[x][y])

LL Dfs(LL x,LL y){
	if(f[x][y]) return f[x][y];
	for(LL i=1;i<=a;++i)
		if(nxt1[x][i]&&nxt2[y][i]){
			if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]>n+1) continue;
			if(nxt1[x][i]+nxt2[y][i]<n+1) f[x][y]++;
			f[x][y]=(f[x][y]+Dfs(nxt1[x][i],nxt2[y][i]))%mod;
		}
	return ++f[x][y];
}

求一个(A,B)的最长公共子序列(S)，使得(C)是(S)的子序列

还是同样的(Dfs(x,y,z))，表示一匹配到(C)的(z)位

改变一下(C)的构建方法

for(LL i=1;i<=a;++i) nxt[n][i]=n;
for(LL i=0;i<n;++i){
	for(LL j=1;j<=a;++j) nxt[i][j]=i;
	nxt[i][c[i+1]]=i+1;
}