声明：本文中的算法和部分程序非本人原创，仅作适当修改以供学习借鉴，代码版权归属原作者
在<<计算机程序的构造和解释>>中有一道零钱兑换问题:一美元兑换成1美分,5美分,10美分,25美分和50美分这几种零钱有多少种方法? 原书中采用树形递归给出了一种解法:
将总数为a的现金换成n种硬币的不同方式的数目等于
·将现金数a换成除第一种硬币之外的所有其他硬币的不同方式数目，加上
·将现金数a-d换成所有种类的硬币的不同方式数目，其中的d是第一种硬币的币值
要问为什么这一说法是对的，请注意这里将换零钱分成两组时所采用的方式，第一组里都没有使用第一种硬币，而第二组里都使用了第一种硬币。显然，换成零钱的全部方式的数目，就等于完全不用第一种硬币的方式的数目，加上用了第一种硬币的换零钱方式的数目。而后一个数目也就等于去掉一个第一种硬币值后，剩下的现金数的换零钱方式数目。
这样就可以将某个给定现金数的换零钱方式的问题，递归地归约为对更少现金数或者更少种类硬币的同一个问题。仔细考虑上面的归约规则，设法使你确信，如果采用下面方式处理退化情况，我们就能利用上面规则写出一个算法来：
·如果a就是0，应该算作是有1种换零钱的方式。
·如果a小于0，应该算作是有0种换零钱的方式。
·如果n是0，应该算作是有0种换零钱的方式。
以下是具体的Scheme代码：
#lang racket
(define (count-change amount)
(cc amount 5))
(define (cc amount kinds-of-coins)
(cond ((= amount 0) 1)
((or (< amount 0) (= kinds-of-coins 0)) 0)
(else (+ (cc amount
(- kinds-of-coins 1))
(cc (- amount
(first-denomination kinds-of-coins ))
kinds-of-coins)))))
(define (first-denomination kinds-of-coins)
(cond ((= kinds-of-coins 1) 1)
((= kinds-of-coins 2) 5)
((= kinds-of-coins 3) 10)
((= kinds-of-coins 4) 25)
((= kinds-of-coins 5) 50)))
对应的C++代码为
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 const int N = 1000; 5 int dimes[] = {1, 5, 10, 25, 50}; 6 int arr[N+1] = {1}; 7 8 // 递归方式实现,更好理解 9 int coinExchangeRecursion(int n, int m) 10 { 11 if (n == 0) //跳出递归的条件 12 return 1; 13 if (n < 0 || m == 0) 14 return 0; 15 // 分为两种情况：换取当前面值的情况 + 没有换取当前面值的情况 16 return (coinExchangeRecursion(n, m-1) + coinExchangeRecursion(n-dimes[m-1], m)); 17 } 18
19 20 int main() 21 { 22 int num=coinExchangeRecursion(N, 5); 23 cout << num << endl; 24 25 return 0; 26 }
使用DrRacket计算(count-change 100)在1秒以内可以算出结果为292，计算(count-change 1000)需要大概1分钟才能计算出结果为801451，这是因为树形递归在递归时
中间变量随输入金额呈指数级增长。
以上问题更好的方法是迭代的方法，下面把题目改成使用我国第三套人民币的情况：1元人民币兑换成1分,2分,5分,1角,2角和5角这几种零钱有多少种方法?
解题思路是，设现金总数为amount的兑换方法有sum种（sum初始值为0），首先如果只使用1分币，显然sum=1,然后尝试使用2分币（此时币种为1分币和2分币），2分币数量每增加1个就产生一种新的兑换方法，相应的sum值也加1，当2分币总数大于amount时，要想产生新的兑换方法就必须引入5分币了，同时将2分币的数额清零（此时币种为1分币，2分币和5分币），2分币数量每增加1个就产生一种新的兑换方法，相应的sum值也加1，当2分币和5分币总数大于amount时，5分币数量加1同时2分币数值清零，继续此过程直到5分币总数大于amount时，要想产生新的兑换方法就必须引入1角币了，后面的过程同上，最后引入5角币（每引入一个更大的币种或某个大币种数量加1后各相对小的币种数量都清零），当5角币总数额大于amount时迭代结束，此时sum的值为兑换方法总数。
#lang racket
(define (count-change-true-iterative amount)
;; penny is not in the signature, because it equals (- amount
;; (* half-dollar 50)
;; (* quarter 25)
;; (* dime 10)
;; (* nickeli 5))
;; (* two 2))
(define (count-iter sum half-dollar quarter dime nickeli two)
(cond ((> (* half-dollar 50) amount)
sum)
((> (+ (* half-dollar 50)
(* quarter 20)) amount)
(count-iter sum (+ half-dollar 1) 0 0 0 0))
((> (+ (* half-dollar 50)
(* quarter 20)
(* dime 10)) amount)
(count-iter sum half-dollar (+ quarter 1) 0 0 0))
((> (+ (* half-dollar 50)
(* quarter 20)
(* dime 10)
(* nickeli 5)) amount)
(count-iter sum half-dollar quarter (+ dime 1) 0 0))
((> (+ (* half-dollar 50)
(* quarter 20)
(* dime 10)
(* nickeli 5)
(* two 2)) amount)
(count-iter sum half-dollar quarter dime (+ nickeli 1) 0))
(else
(count-iter (+ 1 sum) half-dollar quarter dime nickeli (+ two 1)))))
(count-iter 0 0 0 0 0 0))
对应的c++程序为
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 const int amount = 100; 5 6 int count_iter(int sum, int half_dollar, int quarter, int dime, int nickeli, int two) 7 { 8 //此语句显示了迭代过程中相关变量的数值，便于大家了解迭代过程
printf("sum = %d, half_dollar = %d, quarter = %d, dime i= %d, 9 nickeli = %d, two = %d ", sum, half_dollar, quarter, dime, nickeli, two); 10 11 if ( half_dollar * 50 > amount) 12 return sum; 13 14 else if ( half_dollar * 50 + quarter * 20 > amount) 15 count_iter (sum, half_dollar+1, 0, 0, 0, 0); 16 17 else if ( half_dollar * 50 + quarter * 20 + dime * 10 > amount) 18 count_iter (sum, half_dollar, quarter+1, 0, 0, 0); 19 20 else if ( half_dollar * 50 + quarter * 20 + dime * 10 + nickeli * 5 > amount) 21 count_iter (sum, half_dollar, quarter, dime+1, 0, 0); 22 23 else if ( half_dollar * 50 + quarter * 20 + dime * 10 + nickeli * 5 + two * 2 > amount) 24 count_iter (sum, half_dollar, quarter, dime, nickeli+1, 0); 25 26 else 27 count_iter (sum+1, half_dollar, quarter, dime, nickeli, two+1); 28 } 29 30 int main() 31 { 32 33 cout << count_iter( 0, 0, 0, 0, 0, 0) << endl; 34 35 return 0; 36 }
使用DrRacket计算(count-change-true-iterative 100)在1秒以内可以算出结果为4562，计算(count-change-true-iterative 1000)需要大概20秒计算出结果为103119386，显然效率比第一种算法高出不少。