https://www.zybuluo.com/ysner/note/1288083
题面
求$$sum_{i=0}^nsum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!$$
- (nleq10^5)
解析
觉得这道题目与[bzoj5093]图的价值相比，还是小巫见大巫呢。
公式复杂程度和代码细节量少了不止一个级别。。。
首先，要求的时间复杂度是(O(nlogn))。
则我们需要卷积形式的，第二类斯特林数的，通项公式：（推导过程在链接的那篇博文里）
[S(i,j)=sum_{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!}frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
]
然后推推式子：
[=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!
]
注意到(i<j)时，(S(i,j)=0)，我们可以扩大(j)的范围：
[=sum_{j=0}^n2^j*j!sum_{i=0}^nS(i,j)
]
所以题目实际上要求我们把(sum_{i=0}^nS(i,j))化成卷积形式。
[sum_{i=0}^nS(i,j)=sum_{i=0}^nsum_{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!}frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
]
[=sum_{k=0}^jfrac{(-1)^k}{k!(j-k)!}sum_{i=0}^n(j-k)^i
]
又根据等比数列求和公式$$sum_{i=0}^n(j-k)^i=frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k)-1}$$
最终式子化为
[=sum_{k=0}^nfrac{(-1)^k}{k!}frac{(j-k)^{n+1}-1}{[(j-k)-1](j-k)!}
]
显然(NTT)轻松解决。
ps:如何快速求阶乘的逆元
显然一般方法是一边求阶乘一边求逆元，复杂度(O(nlogn))。
然而更好的方法是求完阶乘后，求出最后一个阶乘的逆元，再不断(inv[i]=inv[i+1]*(i+1))即可。
时间复杂度(O(n))
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define re register
#define il inline
#define fp(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define fq(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=4e5+1,mod=998244353;
int n,m,lim=1,l,r[N],a[N],b[N],jc[N],inv[N],ans;
il int ksm(re int S,re int n)
{
re int T=S;S=1;
while(n)
{
if(n&1) S=1ll*S*T%mod;
T=1ll*T*T%mod;
n>>=1;
}
return S;
}
il void NTT(re int *A,re int tp)
{
fp(i,1,lim-1) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
for(re int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
{
re int gu=mid<<1,W=ksm(3,(mod-1)/gu);
if(tp==-1) W=ksm(W,mod-2);
for(re int j=0;j<lim;j+=gu)
{
re int w=1;
for(re int k=0;k<mid;k++,w=1ll*w*W%mod)
{
re ll x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+mid+k]%mod;
A[j+k]=(x+y)%mod;A[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
}
il int gi()
{
re int x=0,t=1;
re char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
if(ch=='-') t=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int main()
{
n=m=gi();
jc[0]=inv[0]=1;fp(i,1,n) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
inv[n]=ksm(jc[n],mod-2);
fq(i,n-1,1) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
b[0]=1;b[1]=n+1;
fp(i,0,n)
{
a[i]=(i&1)?mod-inv[i]:inv[i];
if(i>1) b[i]=1ll*(ksm(i,n+1)-1+mod)%mod*ksm(i-1,mod-2)%mod*inv[i]%mod;
}
while(lim<=n+m) lim<<=1,++l;
fp(i,1,lim-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
NTT(a,1);NTT(b,1);
fp(i,0,lim-1) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,-1);
re ll Inv=ksm(lim,mod-2);
for(re int i=0,j=1;i<=n;++i,j=((ll)j<<1)%mod)
(ans+=1ll*a[i]*Inv%mod*jc[i]%mod*j%mod)%=mod;
printf("%d
",ans);
return 0;
}