动态时间规整-DTW简介

动态时间规整 ，Dynamic Time Warping，简称 DTW；

它是衡量 两个时间序列 之间相似性的 一种度量方式，特点是 序列的长度可以不同；

其主要应用于 语音识别 领域；

算法起源

我们知道相似性度量有很多种方式，那为什么还需要 DWT 这种算法？

举个 语音识别 的例子，比如我们早上跑操要喊 1234，我们会把不同的数字发音拖长，用数字形象的表示为

1 1 2 2 3 4　　// 1 2 发音拖长

1 2 3 3 4 4　　// 3 4 发音拖长

实际上 这句话 都是 1234，是一个意思，语音识别结果应该相同，或者说相似性很高；

但是如果用传统的度量方式，比如曼哈顿距离，1-1 + 1-2 + 2-3 + 2-3 + 3-4 + 4-4 = -4，取绝对值，距离为 4，显然相似性不是很高；

如果我们加入语音的特点，把 1 的发音 和 1 拖长的发音 做距离计算，就可以得到 距离为 0，相似性很高；

这种 把 某个时间点与 另一时刻多个连续的时间点 对应的 方法称为 时间规整；

DTW 通过把不同长度的时间序列进行延伸和缩短，来计算两个时间序列性之间的相似性：

核心思想

上面说的很容易懂，那问题来了，如何延申缩短？把某一时刻的数据与哪些时刻的多个连续数据做对应？

首先，DTW 是一种相似性度量方式，难点在于点与点之间存在无限多种可能得对应关系，最直接的解决方式就是穷举所有的对应关系，找到距离最小的对应关系，此时的距离作为他们的相似性度量；

用数学表示这个思路：

综上，DTW的核心思想如下：

1. DTW 并没有做所谓的拉伸和压缩，它的本质是做点与点之间的匹配，通过一对多、多对一的匹配实现了拉伸和压缩的效果

2.  DTW核心是找到一个最好的点与点的对应关系，这个过程可形象理解为路径规划问题，而路径规划问题有很多成熟的解决方案，如动态规划

动态规划 和 路径规划的问题，可自行研究，我也会在其他章节进行说明

实现方法

具体实现步骤如下

Python Demo

假设我们有三个时间序列，分别是

ts_a = [1,5,8,10,56,21,32,8]

ts_b = [1,5,8,10,23,56,21,32,8]

ts_c = [1,3,6,9,16,29,31,32,33]

ts_a与ts_b和ts_c的长度不一样，现在需要知道ts_a与ts_b和ts_c哪个更相似，通过观察，我们可以清楚的看出ts_a与ts_b的相似度更高。使用DTW相似度解决该问题的代码如下：

import sys
import numpy as np


def cal_dtw_distance(ts_a, ts_b):
    """Returns the DTW similarity distance between two 2-D
    timeseries numpy arrays.

    Arguments
    ---------
    ts_a, ts_b : array of shape [n_samples, n_timepoints]
        Two arrays containing n_samples of timeseries data
        whose DTW distance between each sample of A and B
        will be compared

    d : DistanceMetric object (default = abs(x-y))
        the distance measure used for A_i - B_j in the
        DTW dynamic programming function

    Returns
    -------
    DTW distance between A and B
    """
    d=lambda x, y: abs(x - y)
    max_warping_window = 10000

    # Create cost matrix via broadcasting with large int
    ts_a, ts_b = np.array(ts_a), np.array(ts_b)
    M, N = len(ts_a), len(ts_b)
    cost = sys.maxsize * np.ones((M, N))

    # Initialize the first row and column
    cost[0, 0] = d(ts_a[0], ts_b[0])
    for i in range(1, M):
        cost[i, 0] = cost[i - 1, 0] + d(ts_a[i], ts_b[0])

    for j in range(1, N):
        cost[0, j] = cost[0, j - 1] + d(ts_a[0], ts_b[j])

    # Populate rest of cost matrix within window
    for i in range(1, M):
        for j in range(max(1, i - max_warping_window),
                       min(N, i + max_warping_window)):
            choices = cost[i - 1, j - 1], cost[i, j - 1], cost[i - 1, j]
            cost[i, j] = min(choices) + d(ts_a[i], ts_b[j])

    # Return DTW distance given window
    return cost[-1, -1]

if __name__ == "__main__":
    # 案例：判断ts_a与ts_b和ts_c哪个更相似
    
    ts_a = [1,5,8,10,56,21,32,8]
    ts_b = [1,5,8,10,23,56,21,32,8]
    ts_c = [1,3,6,9,16,29,31,32,33]
    
    # 调用cal_dtw_distance计算dtw相似度
    dtw_ab = cal_dtw_distance(ts_a, ts_b)
    dtw_ac = cal_dtw_distance(ts_a, ts_c)
    
    print("ts_a与ts_b的dtw相似度为 %2.f，
ts_a与ts_c的dtw相似度为 %2.f。" % (dtw_ab, dtw_ac))
    
    if dtw_ab < dtw_ac:
        print("ts_a与ts_b 更相似！")
    else:
        print("ts_a与ts_c 更相似！")

输出

ts_a与ts_b的dtw相似度为 13，
ts_a与ts_c的dtw相似度为 71。
ts_a与ts_b 更相似！

参考资料：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/43247215　　动态时间规整（DTW）算法简介

https://blog.csdn.net/manjhOK/article/details/80481360　　DTW算法

https://blog.csdn.net/fewjioqpfjeiowph/article/details/83743573　　DTW基本原理