线性代数（完结版）

本文介绍线性代数

目录

行列式
矩阵及其运算
矩阵的初等变换与线性方程组
向量组的线性相关性
相似矩阵及二次型

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1. 行列式

   • 二阶行列式

     (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ end{vmatrix}quad)，其中(a_{ij})称为行列式的元素，(i)为行标，(j)为列标

   • 三阶行列式

     (a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}=egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\a_{31} & a_{32} & a_{33}\ end{vmatrix}quad)

   • 全排列及其逆序数

     • 全排列

       将(n)个不同的元素排成一列，叫做这(n)个元素的全排列，排列的种数(p_n=nullet(n-1)ullet...ullet 3ullet 2ullet 1=n!)

     • 逆序数

       规定一个标准排序顺序（比如升序），一个元素前面有几个比它大的数就说它有几个逆序，
       
       一个排列中所有元素的逆序数之和叫做这个排列的逆序数，逆序数为奇数的叫奇排列，偶数的叫偶排列
       
       如：排列(32514)的排序数为(t=0+1+0+3+1=5)，为奇排列

   • (n)阶行列式的定义

     • 三阶行列式

       (egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\a_{31} & a_{32} & a_{33}\ end{vmatrix}quad=sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3})，其中(p_1,p_2,p_3)为(123)的全排列，(t)为每种排列的逆序数

     • (n)阶行列式，简记(det(a_{ij}))

       [ D=egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix}=sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}cdots a_{np_n} ]

     • 特殊的(n)阶行列式

       [ D=egin{vmatrix} lambda_1 & & & \ & lambda_2 & &\ & & cdots & \ & & & lambda_n \ end{vmatrix}=lambda_1lambda_2cdotslambda_n ]
       [ D=egin{vmatrix} & & & lambda_1 \ & & lambda_2 &\ & cdots & & \ lambda_n & & & \ end{vmatrix}=(-1)dfrac{n(n-1)}{2}lambda_1lambda_2cdotslambda_n ]

       除了主对角线外未标出的元素都是零，称为对角行列式
       
       主对角线以下（上）的元素都是(0)的行列式称为上（下）三角行列式，结果和对角行列式一样，即

       [ D=egin{vmatrix} a_{11} & & & \ a_{21} & a_{22} & &\ vdots & vdots & ddots & \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix}=a_{11}a_{22} cdots a_{nn} ]

       拉普拉斯行列式，如果(A)和(B)分别是(m)阶和(n)阶方阵，则

       [ egin{vmatrix} A & * \ O & B \ end{vmatrix} = egin{vmatrix} A & O \ * & B \ end{vmatrix} = |A|;|B| quad, egin{vmatrix} O & A \ B & * \ end{vmatrix} = egin{vmatrix} * & A \ B & O \ end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A|;|B| ]

       范德蒙行列式

       [ egin{vmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 \ x_1 & x_2 & cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & cdots & x_n^2 \ vdots & vdots & & vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & cdots & x_n^{n-1} \ end{vmatrix} = prod_{n geq i gt j geq 1}(x_i - x_j) ]

   • 对换

     • 一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性改变
     • 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数（标准排列就是偶排列）
     • (n)阶行列式还可以定义为(D=sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}cdots a_{p_nn})，其中(t)为行标排列(P_1,P_2,cdots,P_n)的逆序数

   • 行列式的性质

     • 转置行列式

       [ D=egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix}, D^T=egin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & cdots & a_{n1} \ a_{12} & a_{22} & cdots & a_{n2} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{1n} & a_{2n} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix}, ]

       (D_T)称为行列式(D)的转置行列式

     • 行列式和它的转置行列式相等，行列式中行和列的地位相同，对行成立的性质对列同样成立

     • 互换行列式的两行（列），行列式变号

     • 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

     • 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数(k)，等于用数(k)乘此行列式

     • 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

     • 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

     • 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则(D)等于两个包含各数的行列式之和

     • 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数后的值加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

     • 几个特殊的实例

       [ D=egin{vmatrix} a_{11} & cdots & a_{1k} & & & \ vdots & vdots & vdots & & & \ a_{k1} & cdots & a_{kk} & & & \ c_{11} & cdots & c_{1k} & b_{11} & cdots & b_{1n} \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ c_{n1} & cdots & c_{nk} & b_{n1} & cdots & b_{nn} \ end{vmatrix}=egin{vmatrix} a_{11} & cdots & a_{1k}\ vdots & vdots & vdots\ a_{k1} & cdots & a_{kk}\ end{vmatrix} imesegin{vmatrix} b_{11} & cdots & b_{1n} \ vdots & vdots & vdots \ b_{n1} & cdots & b_{nn} \ end{vmatrix} ]
       [ D_{2n}=egin{vmatrix} a & & & & b \ & cdots & & cdots & \ & & a b & & \ & & c d & & \ & cdots & & cdots & \ c & & & & d \ end{vmatrix}=(ad-bc)^n ]

   • 行列式按行（列）展开

     • 余子式：(n)阶行列式中，(a_{ij})所在的第(i)行和第(j)列划去后，剩下的(n-1)阶行列式称为(a_{ij})元的余子式，记做(M_{ij})

     • 代数余子式：(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})

     • 一个(n)阶行列式，如果其中第(i)行所有的元素除(a_{ij})外都为零，那么这行列式等于(a_{ij})与它的代数余子式的乘积，即(D=a_{ij}A_{ij})

     • 行列式按行或列展开法则

       （1）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

       （2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

   • 克拉默法则

     • (n)个未知数(x_1,x_2,cdots,x_n)的(n)个线性方程的方程组

       [ egin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n=b_1\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n=b_2\ cdots \ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n=b_n\ end{cases} ]

       如果线性方程组的系数行列式不等于零，即

       [ D=egin{vmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & & vdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix} eq 0 ]

       那么线性方程组有唯一解(x_1=dfrac{D_1}{D},x_2=dfrac{D_2}{D},cdots,x_n=dfrac{D_n}{D})，其中(D_j)是把方程组的右端的常数项替换行列式第(j)列后的行列式

       如果右端的常数项(b_1,b_2,cdots,b_n)不全为零，方程组称为非齐次线性方程组，否则称为齐次线性方程组

       齐次线性方程组(x_1=x_2=cdots=x_n=0)一定是它的解，称为齐次线性方程组的零解，不一定有非零解

     • 如果系数行列式(D eq 0)则，方程组一定有唯一解

     • 如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零

     • 如果齐次线性方程组的系数行列式(D eq 0)，则齐次线性方程组没有非零解

     • 如果齐次线性方程组有非零解，则他的系数行列式必为零

2. 矩阵及其运算

   • 矩阵

     • 由(m imes n)个数(a_{ij})排成(m)行(n)列的数表称为(m)行(n)列矩阵，简称(m imes n)矩阵，记作

       [A=(a_{ij})=(a_{ij})_{m imes n}=A_{m imes n}=egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & &vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} ]

       行数和列数都为(n)的矩阵称为(n)阶矩阵或(n)阶方阵，记作(A_n)，只有一行的矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_n))，称为行矩阵或行向量，同样的，也有列矩阵，两个矩阵行和列数相等，称为同型矩阵，同型矩阵对应元素相同则两矩阵相同，元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作(O).

     • 单位阵

       [E=egin{pmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & 1 & cdots & 0 \ vdots & vdots & &vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 end{pmatrix} ]

     • 对角阵，简记(Lambda=diag(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n))

       [Lambda=egin{pmatrix} lambda_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & lambda_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & &vdots \ 0 & 0 & cdots & lambda_n end{pmatrix} ]

   • 矩阵的运算

     • 矩阵的加法

       两个矩阵是同型矩阵才可以进行加法运算，(A=(a_{ij}))和(B=(b_{ij}))相加，为对应元素相加

       （1）(A+B=B+A)

       （2）((A+B)+C=A+(B+C))

       （3）(-A=(-a_{ij}))

       （4）(A+(-A)=O)

       （5）(A-B=A+(-B))

     • 数与矩阵相乘，数(lambda A=Alambda)为(lambda)与(A)中的每一个元素相乘

       （1）((lambdamu)A=lambda(mu A))

       （2）((lambda+mu)A=lambda A+mu A)

       （3）(lambda(A+B)=lambda A+lambda B)

     • 矩阵与矩阵相乘，第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时才能相乘

       设(A=(a_{ij}))是一个(m imes s)矩阵，(B=(b_{ij}))是一个(s imes n)矩阵，那么(A)和(B)的乘积是一个(m imes n)矩阵(C=(c_{ij}))其中，(c_{ij}=sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj})，行和列对应的元素相乘，记作(C=AB)

       矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序，(AB)是(A)左乘(B)的乘积，(BA)是(A)右乘(B)的乘积，若(A)是(m imes n)矩阵，(B)是(n imes m)矩阵，则(AB)和(BA)都有意义，如果(AB=BA)称方阵(A)和(B)可交换

       单位阵满足(EA=AE=A)

       对角阵可以表示为(Lambda=lambda E_n)，也称为纯量阵，((lambda E_n)A=A(lambda E_n)=lambda A)，表明纯量阵和任何同阶方阵都是可交换的

       矩阵的幂只有方阵才有，(A^k)，有(A^kA^l=A^{k+l},(A^k)^l=A^{kl})，只有(A,B)可交换才满足((AB)^k=A^kB^k)

       （1）((AB)C=A(BC))

       （2）(lambda(AB)=(lambda A)B=A(lambda B))

       （3）(A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA)

     • 矩阵与矩阵相乘的规律

       两个向量 (A=(a_1,a_2,a_3)^T,B=(b_1,b_2,b_3)^T)，其中(AB^T)为方阵(C)，并且(A^TB)为数，这个数是方阵(C)的迹

       两个对角阵(A,B)相乘的结果(AB=BA)

       [egin{pmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & a_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & &vdots \ 0 & 0 & cdots & a_n end{pmatrix} egin{pmatrix} b_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & b_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & &vdots \ 0 & 0 & cdots & b_n end{pmatrix}= egin{pmatrix} a_1b_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & a_2b_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & &vdots \ 0 & 0 & cdots & a_nb_n end{pmatrix} ]

     • 矩阵的转置，把矩阵(A)的行和列交换，叫做(A)的转置矩阵，记作(A^T)， 如果(A^T=A)，称(A)为对称矩阵

       （1）((A^T)^T=A)

       （2）((A+B)^T=A^T+B^T)

       （3）((lambda A)^T=lambda A^T)

       （4）((AB)^T=B^TA^T)

     • 方阵的行列式，由(n)阶方阵(A)的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵(A)的行列式，记作(|A|)或(detA)

       （1）(|A^T|=|A|)

       （2）(|lambda A|=lambda^n|A|)

       （3）(|AB|=|BA|=|A||B|)

     • 伴随阵

       行列式(|A|)的各个元素的代数余子式(A_{ij})所构成的矩阵如下

       [A^*=egin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & cdots & A_{n2} \ vdots & vdots & &vdots \ A_{1n} & A_{2n} & cdots & A_{nn} \ end{pmatrix} ]

       称为矩阵(A)的伴随矩阵，有(AA^*=A^*A=|A|E)

     • 伴随阵的性质

       （1）((A^*)^* = |A|^{n-2}A (n geq 2))

       （2）((kA)^*=k^{n-1}A^*)

       （3）((AB)^*=B^*A^*)，(A,B)可逆

       （4）(|A^*|=|A|^{n-1})

     • 求伴随阵的技巧

       二阶行列式求伴随阵：主对角线元素对调，副对角线元素取反

   • 逆矩阵

     • 逆矩阵的提出

       由线性变换(Y=AX)，用(A^*)伴随阵左乘此式(A^*Y=A^*AX=|A|X)，当(|A| eq 0)有(X=dfrac{1}{|A|}A^*Y)，记(B=dfrac{1}{|A|}A^*)，则(X=BY)称此式为逆变换，因(Y=AX=ABY, X=BY=BAX)得(AB=BA=E)

     • 对于(n)阶矩阵(A)，如果有一个(n)阶矩阵(B)，使(AB=BA=E)，则说(A)是可逆的，(B)称为(A)的逆矩阵简记(A^{-1})，如果(A)是可逆的，那么(A)的逆阵是唯一的

     • 逆阵的性质

       （1）(A)是可逆矩阵的充分必要条件是(|A| eq 0)，且(A^{-1}=dfrac{1}{|A|}A^*)

       （2）若(AB=E)（或(BA=E)），则(B=A^{-1},A=B^{-1})

     • 方阵逆阵的运算

       （1）若(A)可逆，则(A^{-1})亦可逆，且((A^{-1})^{-1}=A)

       （2）若(A)可逆，数(lambda eq 0)，则(lambda A)可逆，且((lambda A)^{-1}=dfrac{1}{lambda}A^{-1})

       （3）若(A,B)为同阶矩阵且均可逆，则(AB)亦可逆，且((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1})

       （4）若(A)可逆，则(A^T)亦可逆，且((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T)

       （5）(|A^{-1}|=|A|^{-1})

       （6）((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*)

       （7）((A^T)^{*}=(A^{*})^T)

     • 方阵逆阵的求法

       （1）定义法 (AB=E Rightarrow A^{-1}=B)

       （2）伴随法 (A^{-1} = dfrac{A^*}{|A|}, (A^*)^{-1}=dfrac{A}{|A|})

       （3）用行初等变换 ((A|E) Rightarrow (E|A^{-1}))

     • 如果(AP=PB)，(P)可逆，则(A=PBP^{-1})从而(A^k=PB^kP^{-1})，即当求(A^k)可以转化成求(B^k)

   • 矩阵的分块法

     • 分块法就是(A)矩阵分成多个小的矩阵，而(A)就由这些小的矩阵块组成，分块后的(A)的运算法则和之前是一样的，(A=O)的充分必要条件是(A^TA=O)

     • 有如下几个特殊的运算规则需要注意：

       分块矩阵转置

       [A=egin{pmatrix} A_{11} & cdots & A_{1r} \ vdots & &vdots \ A_{s1} & cdots & A_{sr} \ end{pmatrix}, A^T=egin{pmatrix} A_{11}^T & cdots & A_{1r}^T \ vdots & &vdots \ A_{s1}^T & cdots & A_{sr}^T \ end{pmatrix} ]

       分块对角矩阵

       [A=egin{pmatrix} A_{1} & & \ & ddots & \ & & A_{s} \ end{pmatrix}, |A|=|A_1||A_2|cdots|A_s| ]

       分块矩阵逆阵

       [|A_i| eq 0, A=egin{pmatrix} A_{1} & & \ & ddots & \ & & A_{s} \ end{pmatrix} Rightarrow A^{-1}=egin{pmatrix} A_{1}^{-1} & & \ & ddots & \ & & A_{s}^{-1} \ end{pmatrix} quad A=egin{pmatrix} & & A_{1} \ & cdots & \ A_{s} & & \ end{pmatrix} Rightarrow A^{-1}=egin{pmatrix} & & A_{s}^{-1} \ & cdots & \ A_{1}^{-1} & & \ end{pmatrix} ]

     • 按行分块和按列分块

       称(A_{m imes n})有(m)个行向量，第(i)行记作(alpha^T_i=(a_{i1},a_{i2},cdots,a_{in}))，则矩阵(A)可记为

       [A=egin{pmatrix} alpha^T_1 \ alpha^T_2 \ vdots \ alpha^T_n \ end{pmatrix} ]

       第(j)列记作

       [a_j=egin{pmatrix} a_{1j} \ a_{2j} \ cdots \ a_{nj} \ end{pmatrix} ]

       则矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_n))

3. 矩阵的初等变换与线性方程组

   • 矩阵的初等变换

     • 几个特殊的矩阵

       （1）增广矩阵：方程组的系数和常数项组成的矩阵，解线性方程组只需要把增广矩阵化为行最简形矩阵

       （2）行阶梯形矩阵：所有非零行在全零行的上面，并且每行的非零首元素比上行的非零首元素更靠右

       （3）行最简形矩阵：行阶梯形矩阵每行的非零首元素为1，并且所在列的其他元素为0

       （4）标准形：对行最简形矩阵再施加初等变换，例如：

       [F=egin{pmatrix} E_{r} & O \ O & O \ end{pmatrix}_{m imes n} ]

       标准型由(m,n,r)三个数决定，其中(r)是行阶梯形矩阵非零行的行数，也就是矩阵的秩

     • 初等变换的定义

       下面三种变换称为矩阵的初等行变换，初等列变换同理

       （1）对调两行（对调(i,j)两行，记做(r_i leftrightarrow r_j)）

       （2）以数(k eq 0)乘某一行中的所有元素（第(i)行乘(k)，记做(r_i imes k)）

       （3）把某一行所有元素的(k)倍加到另一行对应的元素上去（记做(r_i+kr_j)）

     • 矩阵等价的定义

       （1）如果矩阵(A)经过有限次初等行变换成为矩阵(B)，称矩阵(A)与(B)行等价，记做(Aoverset{r}{sim}B)

       （2）如果矩阵(A)经过有限次初等列变换成为矩阵(B)，称矩阵(A)与(B)列等价，记做(Aoverset{c}{sim}B)

       （3）如果矩阵(A)经过有限次初等变换成为矩阵(B)，称矩阵(A)与(B)等价，记做(Asim B)

     • 矩阵等价的性质

       （1）反身性 (A sim A)

       （2）对称性 若(A sim B)，则(B sim A)

       （3）传递性 若(A sim B, B sim C)，则(A sim C)

     • 初等矩阵

       （1）由单位阵(E)经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，初等矩阵都是可逆的

       （2）设(A)是一个(m imes n)矩阵，对(A)施行一次初等行变换，相当于在(A)的左边乘以相应的(m)阶初等矩阵，对(A)施行一次初等列变换，相当于在(A)的右边乘以相应的(n)阶初等矩阵

       （3）方阵(A)可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵(P_1,P_2,cdots,P_i)，使(A=P_1P_2cdots P_i)

     • 矩阵初等变换的性质，设(A)与(B)为(m imes n)矩阵，那么：

       （1）(Aoverset{r}{sim}B)的充分必要条件是存在(m)阶可逆矩阵(P)，使(PA=B)，求(P)只需要将((A,E)overset{r}{sim}(B,P))，即可得(P)

       （2）(Aoverset{c}{sim}B)的充分必要条件是存在(n)阶可逆矩阵(Q)，使(AQ=B)

       （3）(Asim B)的充分必要条件是存在(m)阶可逆矩阵(P)及(n)阶可逆矩阵(Q)，使(PAQ=B)

       （4）方阵(A)可逆的充分必要条件是(Aoverset{r}{sim}E)

     • 初等矩阵的逆，初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵，即

       （1）初等矩阵某一行乘(k)倍，其逆阵此行乘(dfrac{1}{k})

       （2）初等矩阵两行互换，其逆阵也是此两行互换

       （3）初等矩阵某一行乘(k)倍加到另外一行，其逆阵为某一行乘(-k)倍加到另外一行

   • 矩阵的秩

     • (k)阶子式的概念：取矩阵(A_{m imes n})的(k)行和(k)列，位于交界处的(k^2)个元素构成(k)阶行列式称为(k)阶子式，共有(C^k_mullet C_n^k)个

     • 秩的定义：矩阵(A)的不为零的(r)阶子式(D)，所有的(r+1)阶子式都为零，(D)称为最高阶非零子式，(r)称为(A)的秩，记作(R(A))，规定零矩阵的秩等于零

     • 矩阵秩的求法：将矩阵经过初等变换化成行阶梯形矩阵，非零行个数就是矩阵的秩

     • 可逆矩阵的秩：(n)阶可逆矩阵，因为(|A| eq 0)所以(R(A)=n)，称为满秩矩阵

     • 增广矩阵的秩

       线性方程组的增广矩阵(B=(A,b))，对(B)做初等变换为行阶梯形矩阵(widetilde B=(widetilde A,widetilde b))，其中(widetilde A)就是系数矩阵的行阶梯形矩阵，如果(R(A) lt R(B))则方程无解

     • 矩阵秩和伴随阵秩的关系

       (n)阶矩阵

       [egin{array}{ll} hfillmathrm{R(A)} hfill & hfillmathrm{R(A^*)} hfill \ hline \ lt n-1 & 0 \ n-1 & 1 \ n & n \ end{array} ]

     • 秩的性质

       （1）(0 leq R(A_{m imes n}) leq min|m,n|)

       （2）(R(A^T)=R(A))

       （3）(R(A)=R(A^TA)=R(AA^T)=R(A^T))

       （4）若(A sim B)，则(R(A) = R(B))

       （5）若(P,Q)可逆，则(R(PAQ)=R(A))

       （6）(max{R(A),R(B)}leq R(A,B)leq R(A)+R(B))，当(B=b)非零列向量时有(R(A)leq R(A,b)leq R(A)+1)

       （7）(R(A+B)leq R(A) + R(B))

       （8）(R(AB)leq min{R(A),R(B)})

       （9）若(A_{m imes n}B_{n imes l}=O)，则(R(A)+R(B) leq n)

       （10）若(A_{m imes n}B_{n imes l}=C)，且(R(A)=n)，则(R(B) = R(C))

       （11）若(A_{m imes n}B_{n imes l}=O)，且(R(A)=n)，则(B=O)

   • 线性方程组的解

     • n元线性方程组(Ax=b)，系数矩阵(A)和增广矩阵(B=(A,b))

       （1）无解的充分必要条件是(R(A) lt R(A,b))

       （2）有唯一解的充分必要条件是(R(A)=R(A,b)=n)

       （3）有无限多解的充分必要条件是(R(A)=R(A,b)lt n)，令自由未知数为参数，可以写出方程的通解

     • 确定方程组解的其他性质

       （1）(n)元齐次线性方程组(Ax=0)有非零解的充分必要条件是(R(A)lt n)

       （2）线性方程组(Ax=b)有解的充分必要条件是(R(A)=R(A,b))

       （3）矩阵方程(AX=B)有解的充分必要条件是(R(A)=R(A,B))

4. 向量组的线性相关性

   • 向量组及其线性组合

     • 向量的定义

       (n)个有次序的数(a_1,a_2,cdots,a_n)所组成的数组称为(n)维向量，每个数称为分量，(n)维列向量记做(a)，(n)维行向量记做(a^T)

       [a=egin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ vdots \ a_n \ end{pmatrix} quad a^T=(a_1,a_2,cdots,a_n) ]

       m个n维列向量所组成的集合叫列向量组(A)，m个n维行向量所组成的集合叫行向量组(B)

       [A=(a_1,a_2,cdots,a_m) quad B=egin{pmatrix} eta_1^T \ eta_2^T \ vdots \ eta_m^T \ end{pmatrix} ]

     • 线性组合的定义

       （1）给定向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)，对于任何一组实数(k_1,k_2,cdots,k_m)，表达式(k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m)称为(A)的一个线性组合

       （2）给定向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)和向量(b)，如果存在一组数(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m)，使(b=lambda_1a_1+lambda_2a_2+cdots+lambda_ma_m)，则向量(b)是向量组的线性组合，称向量(b)能由向量组(A)线性表示也就是说方程组(x_1a_1+x_2a_2+cdots+x_ma_m=b)有解

       （3）向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)及(B:b_1,b_2,cdots,b_l)，若(B)中的每个向量都能由(A)线性表示，则称(B)能由(A)线性表示，如果(A)和(B)能相互线性表示，称两者等价

       （4）向量组(B)能由(A)表示也就是说，存在矩阵(K_{m imes l})使((b_1,cdots,b_l)=(a_1,cdots,a_m)K)也就是，矩阵方程((a_1,cdots,a_m)X=(b_1,cdots,b_l))有解

     • 线性表示的条件

       （1）向量(b)能由向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)线性表示的充分必要条件是，矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))的秩等于矩阵(B=(a_1,a_2,cdots,a_m,b))的秩

       （2）向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)线性表示的充分必要条件是，矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))的秩等于矩阵((A,B)=(a_1,a_2,cdots,a_m,b_1,b_2,cdots,b_l))的秩，即(R(A)=R(A,B))

       （3）向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)线性表示的充分条件是，(R(B) leq R(A))

       （4）推论：向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)与向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)等价的充分必要条件是，(R(A)=R(B)=R(A,B))，其中(A,B)是由向量组(A,B)构成的矩阵

     • 向量组线性表示和秩的关系

       （1）设向量组(B:b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)线性表示，因为(AX=B Rightarrow R(A) = R(A, B) geq R(B))，则(R(b_1,b_2,cdots,b_l) leq R(a_1,a_2,cdots,a_m))

       （2）对矩阵(A_{n imes m})存在矩阵(K_{m imes n})，使(AK=E_n)的充分必要条件是(R(A)=n)

   • 向量组的线性相关性

     • 线性相关性的概念

       （1）给定向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)，如果存在不全为零的数(k_1,k_2,cdots,k_m)，使(k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m=0)，则称向量组(A)是线性相关的（也就是说(AX=0)有非零解），否则线性无关

       （2）线性无关的两种情况：只要有一个(k_i eq 0)，就有(k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m eq 0). 或者，当且仅当(k_1=k_2=cdots=k_m=0)，才有(k_1a_1+k_2a_2+cdots+k_ma_m = 0)（也就是说(AX=0)只有零解）

     • 线性相关性和线性组合的联系

       （1）向量组(A)线性相关的充分必要条件是存在某个向量能由其余的向量线性表示

       （2）线性方程中某个方程是其余方程的线性组合，也就是说这些方程是线性相关的，这个方程就是多余的

       （3）向量组(A:a_1,a_2,cdots,a_m)线性相关，就是齐次线性方程(x_1a_1+x_2a_2+cdots+x_ma_m=0)有非零解

       （4）向量组(a_1,a_2,cdots,a_m)线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵(A=(a_1,a_2,cdots,a_m))的秩小于(m)，线性无关的充分必要条件是(R(A)=m)

     • 线性相关性的结论

       （1）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)线性相关，增加向量个数后的向量组(B: a_1,cdots,a_m,a_{m+1})也线性相关

       （2）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)线性相关，减少向量维数后的向量组(B)也线性相关

       （3）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)线性无关，减少向量个数后的向量组(B: a_1,cdots,a_m,a_{m-1})也线性无关

       （4）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)线性无关，增加向量维数后的向量组(B)也线性无关

       （5）(m)个(n)维向量组成的向量组，当(n lt m)时，一定线性相关

       （6）设向量组(A:a_1,cdots,a_m)线性无关，而向量组(B: a_1,cdots,a_m,b)线性相关，则向量(b)必能由(A)线性表示，并且表达式唯一

       （7）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)可由向量组(B:b_1,cdots,b_n)线性表出，并且(m gt n)，则向量组(A)线性相关

       （8）若向量组(A:a_1,cdots,a_m)可由向量组(B:b_1,cdots,b_n)线性表出，并且向量组(A)线性无关，则(m leq n)

   • 向量组的秩

     • 向量组秩的定义

       设有向量组(A)，如果在(A)中能选出(r)个向量(a_1,a_2,cdots,a_r)，满足向量组(A_0: a_1,a_2,cdots,a_r)线性无关并且向量组(A)中任意(r+1)个向量都线性相关，则称(A_0)是(A)的一个最大线性无关向量组，(r)称为向量组(A)的秩，记做(R_A)

     • 向量组的秩和对应矩阵秩的关系

       矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

     • 求最大无关组

       将矩阵化成行阶梯形矩阵，非零行个数(R(A))即无关组向量个数，并且无关组向量由行阶梯矩阵中(R(A))个列组成并且这些列组成的行列式不为零

     • 向量组和自己的最大无关组的关系

       （1）向量组(A)和自己的最大无关组(A_0)是等价的，(A_0)总能由(A)线性表示

       （2）设向量组(A_0:a_1,a_2,cdots,a_r)是向量组(A)的一个部分组，且满足：向量组(A_0)线性无关，向量组(A)的任一向量都能由向量组(A_0)线性表示，那么向量组(A_0)就是向量组(A)的一个最大无关组

     • 相关结论

       （1）向量组(b_1,b_2,cdots,b_l)能由向量组(a_1,a_2,cdots,a_m)线性表示的充分必要条件是，(R(a_1,a_2,cdots,a_m)=R(a_1,a_2,cdots,a_m,b_1,b_2,cdots,b_l))

       （2）若向量组(B)能由向量组(A)线性表示，则(R_B leq R_A)

   • 线性方程组解的结构

     • 解向量

       齐次线性方程组(Ax=0)

       [A=egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} \ end{pmatrix}, x=egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{pmatrix} ]

       一个解向量

       [xi_1=egin{pmatrix} xi_{11} \ xi_{21} \ vdots \ xi_{n1} \ end{pmatrix} ]

     • 解向量的性质

       （1）若(x=xi_1,x=xi_2)为齐次向量方程(Ax=0)的解，则(x=xi_1+xi_2)也是它的解

       （2）若(x=xi_1)为齐次向量方程(Ax=0)的解，(k)为实数，则(x=kxi_1)也是它的解

     • 齐次线性方程的解集

       （1）齐次方程(Ax=0)的所有解向量组成的集合(S)，如果求得(S)的一个最大无关组(S_0:xi_1,xi_2,cdots,xi_t)，那么齐次方程的任一解都可由(S_0)线性表示，并且由上述性质得(S_0)的任何线性组合(x=k_1xi_1+k_2xi_2+cdots+k_txi_t)都是齐次方程的解，此解为通解，(S_0)称为基础解系，系数(k_i)不全为零

       （2）设(m imes n)矩阵(A)的秩(R(A)=r)，则(n)元齐次线性方程组(Ax=0)的解集(S)的秩(R_s=n-r)

       （3）将线性方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵后，基础解系为

       [xi_1=egin{pmatrix} -b_{11} \ vdots \ -b_{r1} \ 1 \ 0 \ vdots \ 0 end{pmatrix}, xi_2=egin{pmatrix} -b_{12} \ vdots \ -b_{r2} \ 0 \ 1 \ vdots \ 0 end{pmatrix}, cdots, xi_{n-r}=egin{pmatrix} -b_{1,n-r} \ vdots \ -b_{r,n-r} \ 0 \ 0 \ vdots \ 1 end{pmatrix} ]

     • 非齐次线性方程的解集，向量方程(Ax=b)，具有如下性质

       （1）设(x=eta_1)及(x=eta_2)为向量方程(Ax=b)的解，则(x=eta_1-eta_2)为(Ax=0)的解

       （2）设(x=eta)为向量方程(Ax=b)的解，(x=xi)是(Ax=0)的解，则(x=xi+eta)为(Ax=b)的解

       由上述性质可得，方程(Ax=b)的解可表示为(x=xi + eta^*)，其中(eta^*)为(Ax=b)的特解（系数(k_i)全取零求得），(xi)为(Ax=0)的通解（系数(k_i)可以全为零）

5. 相似矩阵及二次型

   • 向量的内积、长度和正交性

     • 内积的定义

       设有n维向量

       [x=egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n \ end{pmatrix}, y=egin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n \ end{pmatrix} ]

       ([x,y]=x^Ty=x_1y_1+x_2y_2+cdots+x_ny_n)称为向量(x,y)的内积

     • 内积具有如下性质

       （1）([x,y]=[y,x])

       （2）([lambda x,y]=lambda[x,y])

       （3）([x+y,z]=[x,z]+[y,z])

       （4）当(x=0)时，([x,x]=0)，当(x eq 0)，([x,x] gt 0)

       （5）([x,y]^2 leq [x,x][y,y])

     • 向量的长度

       （1）令(||x||=sqrt{[x,x]}=sqrt{x_1^2+x_2^2+cdots+x_n^2})，(||x||)称为(n)维向量的长度（或范数）

       （2）当(||x||=1)时，称(x)为单位向量

     • 向量的长度具有如下性质

       （1）非负性：当(x eq 0)，(||x|| gt 0)，当(x = 0)，(||x|| = 0)

       （2）齐次性：(||lambda x||=|lambda|;||x||)

       （3）三角不等式：(||x+y|| leq ||x|| + ||y||)

     • 向量的正交性

       （1）当([x,y] = 0)时，称向量(x,y)正交，若(x=0)则与任何向量都正交

       （2）正交向量组：一组两两正交的非零向量

     • 向量的正交性的性质

       若(n)维向量(a_1,a_2,cdots,a_r)是一组两两正交的非零向量，则(a_1,a_2,cdots,a_r)线性无关

     • 规范正交基的概念：

       （1）设(n)维向量(e_1,e_2,cdots,e_r)是向量空间(V(V subset R^n))的一个基，如果(e_1,cdots,e_r)两两正交且都是单位向量，则称(e_1,cdots,e_r)是(V)的一个规范正交基

       （2）如果(e_1,cdots,e_r)是(V)的一个规范正交基，那么(V)中任一向量(a)都能由(e1,cdots,e_r)线性表示，设表达式为(a=lambda_1e_1+lambda_2e_2+cdots+lambda_re_r)，为求系数(lambda_i)，可在方程两边乘(e^T_i)，得(e^T_ia=lambda_ie^T_ie_i=lambda_i)

     • 求规范正交基的方法

       要把(a_1,cdots,a_r)这个基规范化，就是找一组两两正交的单位向量(e_1,cdots,e_r)，使其与(a_1,cdots,a_r)等价

       施密特正交规范化的步骤：

       (b_1=a_1)

       (b_2=a_2-dfrac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1)

       (cdotscdots)

       (b_r=a_r-dfrac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1-dfrac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-cdots-dfrac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1})

       上面的(b_1,cdots,b_r)两两正交，且和(a_1,cdots,a_r)等价，将其单位化得

       (e_1=dfrac{b_1}{||b_1||},e_2=dfrac{b_2}{||b_2||},cdots,e_r=dfrac{b_r}{||b_r||})

     • 正交矩阵

       如果(n)阶矩阵(A)满足(A^TA=AA^T=E)（即(A^{-1}=A^T)）那么称(A)为正交矩阵，简称正交阵

       即有

       [egin{pmatrix} a_1^T \ a_2^T \ vdots \ a_n^T \ end{pmatrix} quad(a_1,a_2,cdots,a_n)=E ]

       也就是说方阵(A)是正交阵的充分必要条件是(A)的列向量都是单位向量且两两正交，此结论对行向量也成立

     • 正交矩阵具有如下性质

       （1）若(A)为正交阵，则(A^{-1}=A^T)也是正交阵，且(|A|=1)（或(-1)）

       （2）若(A)和(B)都是正交阵，则(AB)也是正交阵

     • 正交变换

       若(P)为正交阵，则线性变换(y=Px)称为正交变换

       (||y||=sqrt{y^Ty}=sqrt{x^TP^TPx}=sqrt{x^Tx}=||x||)

   • 方阵的特征值与特征向量

     • 特征值与特征向量的定义

       （1）设(A)是(n)阶矩阵，如果数(lambda)和(n)维非零列向量(x)使关系式(Ax=lambda x)成立（((A-lambda E)x=0)），称数(lambda)为矩阵(A)的特征值，非零向量(x)称为(A)对应于特征值(lambda)的特征向量

       （2）要求特征值(lambda)，则系数行列式(|A-lambda E|=0)，即

       [egin{vmatrix} a_{11}-lambda & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22}-lambda & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots &vdots &\ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}-lambda \ end{vmatrix}=0 ]

       称为矩阵(A)的特征方程，在复数范围内恒有方程的次数个解，(|A-lambda E|)称为特征多项式

     • 特征值的性质

       （1）设(n)阶矩阵(A=(a_{ij}))的特征值为(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)则有，(lambda_1+lambda_2+cdots+lambda_n=a_{11}+a_{22}+cdots+a_{nn})并且(lambda_1lambda_2cdots lambda_n=|A|)

       （2）(i)重特征值(lambda_i)最多只有(i)个线性无关的特征向量

     • 特征向量的性质

       （1）若(p_i)是矩阵(A)的对应于特征值(lambda_i)的特征向量，则(kp_i(k eq 0))也是对应于(lambda_i)的特征向量

       （2）若(lambda)是(A)的特征值，则(lambda^k)是(A^k)的特征值

       （3）(a_0+a_1lambda+cdots+a_mlambda^m)是(a_0E+a_1A+cdots+a_mA^m)的特征值

     • 特征值和特征向量与线性组合的关系

       设(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m)是方阵(A)的(m)个特征值，(p_1,p_2,cdots,p_m)依次是与之对应的特征向量，如果(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m)各不相等，则(p_1,p_2,cdots,p_m)线性无关

     • 与矩阵(A)相关的矩阵的特征值和特征向量的求法

       如果矩阵(A)的特征值和特征向量是(lambda, alpha)，则

       （1）(kA+lE)的特征值是(klambda + l)，特征向量是(alpha)

       （2）(A^n)的特征值是(lambda^n)，特征向量是(alpha)

       （3）(A^*)的特征值是(dfrac{|A|}{lambda})，特征向量是(alpha)

       （4）(A^{-1})的特征值是(dfrac{1}{lambda})，特征向量是(alpha)

       （5）(A^{T})的特征值是(lambda)，特征向量不确定

   • 相似矩阵

     • 相似矩阵的定义

       设(A,B)都是(n)阶矩阵，若有可逆矩阵(P)，使(P^{-1}AP=B)则称(B)是(A)的相似矩阵，对(A)进行(P^{-1}AP)运算称为相似变换，(P)称为把(A)变成(B)的相似变换矩阵

     • 相似矩阵的性质

       如果(A sim B)，则(|A|=|B| Rightarrow r(A)=r(B) Rightarrow |A-lambda E|=|B-lambda E| Rightarrow lambda_A = lambda_B Rightarrow)迹相等

     • 相似矩阵与特征值、特征向量的关系

       （1）若(n)阶矩阵(A)与(B)相似，如果(A sim Lambda, B sim Lambda)，则(p_1^{-1}Ap_1=p_2^{-1}Bp_2)

       （2）若(n)阶矩阵(A)与对角阵

       [Lambda=egin{pmatrix} lambda_1 & & & \ & lambda_2 & \ & & ddots & \ & & & lambda_n end{pmatrix} ]

       相似，因为(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)是(Lambda)的特征值，则(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)即是(A)的(n)个特征值并且可逆阵(P)由特征向量组成即(P=A(alpha_1,alpha_2,alpha_3))

     • 矩阵对角化

       (n)阶矩阵(A)，求相似变换矩阵(P)，使得(P^{-1}AP=Lambda)为对角阵，称为矩阵(A)的对角化

     • 矩阵对角化和矩阵秩的关系

       如果(n)阶矩阵(A)可对角化，则有(R(P^{-1}AP)=R(A)=R(Lambda))，而(Lambda)是(A)的(n)个特征值组成的对角阵，所以矩阵(A)的秩和非零特征值个数相等

     • 矩阵对角化的条件

       （1）(n)阶矩阵(A)与对角阵相似（即(A)能对角化）的充分必要条件是(A)有(n)个线性无关的特征向量

       （2）推论：如果(n)阶矩阵(A)的(n)个特征值互不相等，则(A)与对角阵相似

       （3）(n)阶矩阵(A)的(i)重特征值(lambda_i)有(i)个线性无关的特征向量，即(n-R(lambda_iE-A)=i)

       （4）(n)阶矩阵(A)是实对称阵，则(A)可对角化

     • 对称矩阵的对角化的性质

       （1）对称阵的特征值为实数

       （2）设(lambda_1,lambda_2)是对称阵(A)的两个特征值，(p_1,p_2)是对应的特征向量.若(lambda_1 eq lambda_2)，则(p_1)与(p_2)正交

       （3）设(A)为(n)阶对称阵，则必有正交阵(P)，使(P^{-1}AP=P^TAP=Lambda)，其中(Lambda)是以(A)的(n)个特征值为对角元的对角阵，正交阵(Q)是(A)特征向量单位化，正交化后拼成的

       （4）设(A)为(n)阶对称阵，(lambda)是(A)的特征方程的(k)重根，则矩阵(A-lambda E)的秩(R(A-lambda E)=n-k)，从而对应特征值(lambda)恰有(k)个线性无关的特征向量

     • 对称矩阵的对角化的步骤

       （1）求出(A)的全部互不相等的特征值(lambda_1,cdots,lambda_s)，他们的重复次数依次为(k_1,cdots,k_s (k_1+cdots+k_s=n))

       （2）对每个(k_i)重特征值(lambda_i)，求方程((A-lambda_iE)x=0)的基础解系，得(k_i)个线性无关的特征向量。再把他们正交化、单位化，得(k_i)个两两正交的单位特征向量.因(k_1+cdots+k_s=n)，故共得(n)个两两正交的单位特征向量

       （3）把这(n)个两两正交的单位特征向量构成正交阵(P)，便有(P^{-1}AP=P^TAP=Lambda).其中(Lambda)中对角元的排列次序应与(P)中列向量的排列次序相对应

   • 二次型及其标准型

     • 二次型的概念

       含有(n)个变量(x_1,x_2,cdots,x_n)的二次齐次函数

       [f(x_1,x_2,cdots,x_n)=a_{11}x^2_1+a_{22}x^2_2+cdots+a_{nn}x^2_n+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n ]

       称为二次型

       取(a_{ij}=a_{ji})，则(2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i)从而有

       [egin{align} f(x_1,x_2,cdots,x_n) &=a_{11}x^2_1+a_{12}x_1x_2+cdots+a_{1n}x_1x_n+ \ & a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+cdots+a_{2n}x_2x_n+ \ & cdotscdots \ & a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+cdots+a_{nn}x_n^2 end{align} ]

     • 二次型的标准型

       寻求可逆的线性变换

       [egin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+cdots+c_{1n}y_n \ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+cdots+c_{2n}y_n \ cdotscdots \ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+cdots+c_{nn}y_n end{cases} ]

       代入二次齐次函数，使(f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+cdots+k_ny_n^2)，这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式），如果(k_1,k_2,cdots,k_n)只在(1,-1,0)三个数中取值，称为规范形

     • 二次型简写形式

       [egin{align} f(x_1,x_2,cdots,x_n) &=(x_1,x_2,cdots,x_n) egin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+cdots+a_{1n}x_n\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+cdots+a_{2n}x_n\ vdots \ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+cdots+a_{nn}x_n\ end{pmatrix} quad \ &=(x_1,x_2,cdots,x_n) egin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\ vdots \ a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}\ end{pmatrix} quad egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end{pmatrix} end{align} ]

       则二次型可简写成(f=x^TAx)，其中(A)为对称阵

     • 二次型和矩阵的关系

       任给一个二次型，就能唯一的确定一个对称阵，任给一个对称阵也能唯一的确定一个二次型.将对称阵(A)叫做二次型(f)的矩阵，(f)叫做矩阵(A)的二次型，对称阵(A)的秩就叫做二次型(f)的秩

     • 合同矩阵

       （1）设(A)和(B)是(n)阶矩阵，若有可逆矩阵(C)，使(B=C^TAC)，则称矩阵(A)与(B)合同

       （2）记(C=(c_{ij}))则(x=Cy)，有(f=x^TAx=(Cy)^TACy=y^T(C^TAC)y)

       （3）若(A)为对称阵，则(B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B)，即(B)也为对称阵.因为(C)和(C^T)都是可逆的，所以(R(A)=R(B))

     • 合同矩阵对角化

       要使二次型(f)经可逆变换(x=Cy)变成标准形，即使

       [egin{align} y^TC^TACy &=k_1y^2_1+k_2y_2^2+cdots+k_ny_n^2\ &=(y_1,y_2,cdots,y_n) egin{pmatrix} k_1 & & & \ & k_2 & & \ & & ddots & \ & & & k_n \ end{pmatrix} quad egin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end{pmatrix} end{align} ]

       也就是使(C^TAC)成为对角矩阵

       任给二次形(f=sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a{ji}))，总有正交变换(x=Py)，使(f)化为标准形(f=lambda_1y^2_1+lambda_2y^2_2+cdots+lambda_ny^2_n)，其中(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n)是(f)的矩阵(A=(a_{ij}))的特征值，并且(P)是特征向量

       推论：任给(n)元二次型(f(x)=x^TAx(A^T=A))，总有可逆变换(x=Cz)，使(f(Cz)=dfrac{lambda_1}{|lambda_1|}z^2_1+cdots+dfrac{lambda_r}{|lambda_r|}z^2_r)为规范形

     • 用正交变换化二次型为标准形的步骤

       首先根据给定的二次型写出对称阵(A)，然后求对称阵的特征值和特征向量，则标准形的系数为特征值，正交阵为特征向量正交化和单位化

     • 用配方法化二次型为标准形的步骤

       （1）(f)中含变量(x_1)的平方项，则把含(x_1)的项归并起来，如：

       (f=x^2_1+2x^2_2+5x^2_3+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x^3)^2)得(y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3)

       （2）(f)中不含平方项，如：

       (f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3)，令(x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2,x_3=y_3)代入，得(f=2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2).令(z_1=sqrt{2}(y_1-y_3),z_2=sqrt{2}(y_2-2y_3),z_3=sqrt{6}(y_3))

     • 正定二次型

       （1）惯性定理

       设二次型(f=x^TAx)，它的秩为(r)，有两个可逆变换(x=Cy)及(x=Pz)，使(f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+cdots+k_ry_r^2 (k_i eq 0))，(f=lambda_1z_1^2+lambda_2z_2^2+cdots+lambda_rz_r^2 (lambda_i eq 0))，则(k_1,cdots,k_r)中正数的个数与(lambda_1,cdots,lambda_r)中正数的个数相等，此个数称为正惯性指数，相应的有负惯性指数

       （2）正定二次型

       设有二次型(f(x)=x^TAx)，如果对任何(x eq 0)，都有(f(x) gt 0)，则称(f)为正定二次型，并称对称阵(A)是正定的，如果对任何(x eq 0)，都有(f(x) lt 0)，则称(f)为负定二次型，并称对称阵(A)是负定的

       （3）正定的充分必要条件

       (n)元二次型(f=x^TAx)为正定的充分必要条件是：它的标准形的(n)个系数全为正，即他的规范形的(n)个系数全为(1)，亦即他的正惯性指数等于(n)

       对称阵(A)为正定的充分必要条件是：(A)的特征值全为正

       （4）正定的必要条件

       主对角线元素(a_{ii}>0)，矩阵的行列式(|A| gt 0)

       （5）赫尔维茨定理

       对称阵(A)为正定的充分必要条件是：(A)的各阶主子式都为正，即

       [a_{11} gt 0, egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ end{vmatrix} gt 0, cdots, egin{vmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & & vdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix} gt 0 ]

       对称阵(A)为负定的充分必要条件是：(A)的奇数阶主子式都为负，偶数阶主子式都为正，即

       [(-1)^regin{vmatrix} a_{11} & cdots & a_{1r} \ vdots & & vdots \ a_{n1} & cdots & a_{rr} \ end{vmatrix} gt 0 (r=1,2,cdots,n) ]

     • 合同，相似，等价，特征值之间的关系

       等价指的是两个矩阵的秩一样

       合同指的是两个矩阵的正定性一样,也就是说,两个矩阵对应的特征值符号一样

       相似是指两个矩阵特征值一样.

       相似必合同,合同必等价.

     • 正定的其他结论

       (A)正定，则(A^T,A^*,A^{-1},A^k,kA(k gt 0))正定，并且他们之间的正系数线性组合正定