给定 $k$ 个互不相同的复数 $x_0,cdots,x_{k-1}$,以及 $k$ 个复数$y_0,cdots,y_{k-1}$.我们知道存在唯一的复系数 $k-1$ 次多项式
$$
mathcal{P}_{k-1}(x)=xi_0+xi_1x+cdots+xi_{k-1}x^{k-1}
$$
使得
$$
mathcal{P}_{k-1}(x_0)=y_0,cdots,mathcal{P}_{k-1}(x_{k-1})=y_{k-1}.
$$
其中 $xi_0,cdots,xi_{k-1}inmathbf{C}$.这个结论是范德蒙行列式不为0的一个简单推论.特别的,我们令 $x_i=omega^i$,其中 $omega=e^{frac{2pi i}{k}}$,我们就得到了三角插值多项式.为了确定三角插值多项式的系数,我们使用 Cramer 法则.我们知道
$$
egin{cases}
xi_0+xi_1omega^0+cdots+xi_{k-1}omega^0=y_0\
xi_0+xi_1omega^1+cdots+xi_{k-1}omega^{k-1}=y_1\
xi_0+xi_1omega^2+cdots+xi_{k-1}omega^{2(k-1)}=y_2\
vdots\
xi_0+xi_1omega^{k-1}+cdots+xi_{k-1}omega^{(k-1)(k-1)}=y_{k-1}.
end{cases}
$$
因此
$$
xi_i=frac{egin{vmatrix}
omega^{0}&omega^0&cdots&y_{0}&cdots&omega^{0}\
omega^0&omega^1&cdots&y_{1}&cdots&omega^{k-1}\
vdots&vdots&cdots&vdots&cdots&vdots\
omega^0&omega^{k-1}&cdots&y_{k-1}&cdots&omega^{(k-1)(k-1)}\
end{vmatrix}}{egin{vmatrix}
omega^{0}&omega^0&cdots&omega^{0}\
omega^0&omega^1&cdots&omega^{k-1}\
vdots&vdots&cdots&vdots\
omega^0&omega^{k-1}&cdots&omega^{(k-1)(k-1)}\
end{vmatrix}}.
$$
设
$$
egin{pmatrix}
y_0\
y_1\
vdots\
y_{k-1}\
end{pmatrix}=alpha_0 egin{pmatrix}
omega^{0}\
omega^{0}\
vdots\
omega^0\
end{pmatrix}+cdots+alpha_i egin{pmatrix}
omega^{0}\
omega^{i}\
vdots\
omega^{i(k-1)}\
end{pmatrix}+cdots+alpha_{k-1}egin{pmatrix}
omega^{0}\
omega^{k-1}\
vdots\
omega^{(k-1)(k-1)}
end{pmatrix},
$$
则 $xi_i=alpha_i$.于是我们只用求 $alpha_i$ 即可.易得
$$
alpha_i=frac{1}{k}egin{pmatrix}
y_0\
y_1\
vdots\
y_{k-1}\
end{pmatrix}cdot egin{pmatrix}
omega^0\
omega^{-i}\
vdots\
omega^{-i(k-1)}\
end{pmatrix}.
$$