P7 矩阵03

https://www.bilibili.com/video/BV1Gf4y1S7e5?p=7

 

 注解：

1. A是方阵的前提之下才能谈A是不是可逆。
2. 只有方阵才可以计算行列式。
3. 只有方阵才能谈是否满秩，否则只能谈列满秩或者行满秩。
4. 既然是方阵,行数和列数一定是相等的，所以n个向量，每个向量一定是n维的。
   

 证明：

 

 

 证明：

 注解：

1. 这种证明方法有漏洞，因为A未必可逆。

视频课件的证明方法如下：

 

 注解：

1. 左边提一个，右边提一个，左右开弓。

 

 注解：

1. 任何方阵都有伴随阵。
2. 凡是提到伴随矩阵一定是从方阵来说的。
3. 伴随矩阵就是方阵的每行的元素的代数余子式竖着写。
4. 伴随矩阵就是方阵的每行的元素的代数余子式的转置。

 伴随矩阵为何要这样写？为何要这样规定？

 注解：

1. 一个矩阵的某一行元素乘以这一行的代数余子式等于这个矩阵的行列式。
2. 一个矩阵的某一行元素乘以别人家的代数余子式等于0。
3. 伴随矩阵那样写的目的是为了构造一个有用的公式，A乘以A的伴随阵等于|A|E.
4. 等号右边是数量阵。

 

 注解：

1. 前面3个的交换是无条件成立的

 

 

 

 

 

 

 注解：

1. 第一个公式的证明：

注解：

1. 行列式每一行的公因子可以提到外面去。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 注解：

1. 以为先算伴随阵的话，可能最后一算行列式等于0，相当于没有逆矩阵，伴随阵就白算了。
2. 只要是方阵，都有伴随阵，但是不一定有逆矩阵。
3. 伴随阵对于方阵来说，如影随形。

 

 

 

 注解：

1. 主对调，副变号，仅限于二阶。