昨天晚上突然发现不会证埃氏筛的复杂度，去研究了一下就有了这篇博客。
首先最朴素的筛法，对每个(i=1,dots,n)，再枚举一个(j=1,dots,lfloorfrac{n}{i} floor)，去筛掉(i*j)，这样是一个(O(nlog n))的复杂度。
接着是埃氏筛，每次只对素数(i)，把(i imes pri[j])筛一遍，复杂度于是(egin{aligned}sum_{1leq pleq n (pin prime)} frac{1}{p}end{aligned})，级别的，可以证明这个式子是(O(nlog log n))的：
设(f(x))是一个在([l,r])连续可微的函数，(A(n)=sum_{ileq n}a_i)，类似分部积分的操作，(A_{i}f_{i}-A_{i-1}f_{i-1}=(A_i-A_{i-1})f_i+A_{i-1}(f_{i}-f_{i-1})=a_{i}f_i+A_{i-1}(f_{i}-f_{i-1}))，两边求和得到：(egin{aligned}A_rf_r-A_l f_l=sum_{i=l+1}^ra_if_i+sum_{i=l+1}^r A_{i-1}(f_i-f_{i-1})end{aligned})。
为了方便，后面那个(sum)经常还能换成积分：(=egin{aligned}sum_{i=l+1}^r A_i int_{i-1}^{i}f'(t)dt=int_l^r A_t f'(t)dtend{aligned})，于是有：(egin{aligned}sum_{i=l+1}^r a_i f_i=A_r f_r-A_l f_l -int_l^r A_t f'(t)dtend{aligned})，接着在这里，我们令(a_i)表示(i)是不是素数（是的话为1，否则为0），于是(A(n)=pi(n))，再取(f_i=frac{1}{i})，取(l=2)开始求和，就得到了素数倒数和(egin{aligned}sum_{pleq n}frac{1}{p}=frac{pi(n)}{n}+int_2^nfrac{pi(t)}{t^2}dtend{aligned})，接着我们近似地用(pi (x)sim frac{x}{ln x})来算积分，就得到了(O(nlog log n))这个结果啦
而欧拉筛则是考虑对每个数(i)枚举比他小素数(j)，把(i imes j)筛掉，与此同时，一旦发现(j|i)就结束这一轮(j)的枚举，这样就能保证每个数字最多只被筛一次，复杂度是严格的(O(n))的。
同时我们说这种方法能用来筛一些像是莫比乌斯函数/欧拉函数这样的积性函数（即(n,m)互质时，符合(f(nm)=f(n)f(m))的一类函数）。