从逻辑回归开始入门深度学习

从逻辑回归开始入门深度学习

本文主要来源于吴恩达《深度学习与神经网络》。本文根据课程内容做一个串联。

本文内容安排如下：

• 符号定义
• 逻辑回归LR：定义、实现、高效实现
• 浅层神经网络（2层）：实现、优化
• 深度神经网络：实现、优化、应用

我们以一个分类问题作为研究背景。研究问题为判断输入图片是否为猫咪的二分类。

符号定义

在解决问题之前，我们先对使用的数学符号做一个定义：

• （x, y）: 输入样本; x ∈ (R^{n_x}), y ∈ {0, 1}
• {((x^{(1)}, y^{(1)}), (x^{(2)}, y^{(2)})... (x^{(m)}, y^{(m)}))}: 训练数据集，包含m个训练样本
• [a,b,c,.....,z].T: 向量，默认情况下，向量指的是列向量
• (m = m_{train}), (m_{test})=#test examples
• $X in R^{n_x * m} (: 训练集，训练样本以**列的方式**进行堆叠，换言之，X矩阵的每一列是一个样本，而不是行； X.shape = ()n_x$, m)
• (Y in R^{1*m}): 训练标签，标签以列的方式进行堆叠, (Y.shape = (1,m))

逻辑回归

在介绍逻辑回顾处理图片分类。我们处理的问题是二分类，输入一张图片判断图片中是否有猫。输入图片格式为RGB三色图，像素取值为0~255。

原理介绍

逻辑回归用于处理二分类问题。逻辑回归中(hat{h} = P(y=1|x))用于计算输入样本为1的概率。以单个样本为例，其计算公式为

[hat{y} = sigmoid(w^Tx+b) ]

其中，(x in R^{n_x}), (w in R^{n_x}) ,(b in R)。输出结果的取值范围为[0, 1]。

逻辑回归其实是线性回归的进一步加工，线性回归计算结果的取值范围为((-infty, +infty))，我们将线性回归的计算结果使用sigmoid将范围压缩到[0, 1].

Sigmoid是一种非线性的S型函数，取值范围在[0, 1]，这种输出值可以别理解为概率表示。Sigmoid函数的计算公式和曲线如下。

[Sigmoid(z) = frac{1}{1+e^{-z}} ]

从上图可以看出，sigmoid取值范围为[0, 1]，当自变量z非常小时，sigmoid趋近于0；当z非常大时，sigmoid趋近于1（实际上当z=10时，输出值为0.9999，非常趋近于1）。

Loss function

我们现在知道了如何使用逻辑回归计算一个样本为正例的概率，那么如何评估模型的好坏呢？这就依赖于损失函数。

给定一个样本((x^{(i)}, y^{(i)})),使用逻辑回归计算这个样本为正例的概率P(y=1|x),

[hat{y}^{(i)} = sigma(w^Tx^{(i)} + b), where sigma(z)=frac{1}{1+e^{-z}} ]

理想情况下，输出结果(hat y)应该和样本标签y尽可能相等，即(hat y^{(i)} approx y^{(i)})

[L(hat y, y) = -(yloghat y + (1-y)log(1-hat y)) ]

当y=1时，(L(hat y, y)=-loghat y)；当y=0时，(L(hat y, y) = -log(1-hat y)).

在全部训练样本上，损失函数cost function为

[J(w, b) = frac1{m}sum_{i=1}^m L(hat y, y) = -frac1{m}sum_{i=1}^m[y^{(i)}loghat y^{(i)} + (1-y^{(i)})log(1-hat y^{(i)})] ]

损失函数是参数w，b的函数，我们想要通过最小化损失函数找到最佳的参数w，b，最后用于样本的预测[通过最小化损失函数，我们可以保证预测结果与真实样本标签之间差距尽可能小，进而保证预测结果的准确性]。

LR损失函数可以使用最大似然估计来进行推导。

Gradient Descent

知道了模型的损失函数，接下来就是通过最小化损失函数得到最终的参数w，b。常用的方法是使用梯度下降法，使用当前位置的偏导数对参数进行更新，反复多次后，损失函数到达最低点，此时w，b即为最终结果。

使用梯度下降算法，w，b的更新公式如下：

[w = w - alpha frac{partial J(w, b)}{partial w} \b = b - alpha frac{partial J(w, b)}{partial b} ]

其中，(alpha)为学习率，含义是每次参数更新的步幅；如果(alpha)过大，导致参数更新幅度过大，可能会错过模型的最优值；如果(alpha)过下，导致每次更新幅度很小，模型需要更多的迭代次数才能收敛。在程序代码中，我们使用dw表示(frac{partial J(w, b)}{partial w}), db表示(frac{partial J(w, b)}{partial b}).

计算图

神经网络的计算过程一般分为两个阶段：前向传播和反向传播。使用计算图来描述计算过程更清晰：将整个计算过程分步骤进行计算。

假设J(a, b, c) = 3(a + bc),其中a=5, b=3, c=2.这个计算过程可以使用计算图来描述，如：

设定u = bc, v = a + u, J=3v.

反向传播过程，需要计算da, db, dc.此时，可以通过计算图依据链式法则进行计算。

[frac{partial J}{partial a} = frac{partial J}{partial v} * frac{partial v}{partial a} = 3 * 1 = 3 ]

[frac{partial J}{partial b} = frac{partial J}{partial v} * frac{partial v}{partial u} * frac{partial u}{partial b}= 3 * 1 * c= 6 ]

[frac{partial J}{partial c} = frac{partial J}{partial v} * frac{partial v}{partial u} * frac{partial u}{partial c}= 3 * 1 * b= 9 ]

在计算图中，蓝色线为前向传播计算过程，红色线为反向传播计算过程。

LR的优化计算

通过上面的计算图我们知道了神经网络的计算流程。下面我们使用计算图来描述单个样本的逻辑回归的计算过程，然后扩展到m个样本上;之后介绍LR的优化过程，即向量化。

单个样本的计算

单个样本的逻辑回归计算公式如下：

[hat y = sigma(w^Tx+b), where sigma(z)=frac1{1+e^{-z}} \L(hat y, y) = -[yloghat y + (1-y)log(1-hat y)] ]

我们假设训练样本x的维度为2（有两个特征x1、x2）。

描述逻辑回归的loss函数的计算图将运算过程分为3步， 分别为计算z、(hat y),以及L(a,y)。

逻辑回归的参数更新法则如下：

[w_1 = w_1 - alpha * frac{partial L}{partial w_1} \w_2 = w_2 - alpha * frac{partial L}{partial w_2}\b = b - alpha * frac{partial L}{partial b} ]

因此，接下来的计算过程主要集中在偏导数(frac{partial L}{partial w_1}), (frac{partial L}{partial w_2})以及(frac{partial L}{partial b})的计算。

从计算图来看：

[frac{partial J}{partial a} = frac{partial -[yloga + (1-y)log(1-a)]}{partial a} = -[frac{y}{a} - frac{1-y}{1-a}] ]

[frac{partial a}{partial z} = frac{partial frac{1}{1+e^{-z}}}{partial z} = frac{1}{1+e^{-z}} * frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} = a * (1 - a) \frac{partial z}{partial w_1} = frac{partial (w_1x_1+w_2x_2+b)}{partial w_1} = x_1 \frac{partial z}{partial w_2} = frac{partial (w_1x_1+w_2x_2+b)}{partial w_2} = x_2 \frac{partial z}{partial b} = frac{partial (w_1x_1+w_2x_2+b)}{partial b} = 1 ]

在反向传播过程中根据链式法则，我们可以知道

[frac{partial J}{partial w_1} = frac{partial J}{partial a} * frac{partial a}{partial z} * frac{partial z}{partial w_1} = -[frac{y}{a} - frac{1-y}{1-a}] * a * (1 - a) * x_1 \= (a-y)*x_1 ]

[frac{partial J}{partial w_2} = frac{partial J}{partial a} * frac{partial a}{partial z} * frac{partial z}{partial w_2} = -[frac{y}{a} - frac{1-y}{1-a}] * a * (1 - a) * x_2 \= (a-y)*x_2 ]

[frac{partial J}{partial b} = frac{partial J}{partial a} * frac{partial a}{partial z} * frac{partial z}{partial b} = -[frac{y}{a} - frac{1-y}{1-a}] * a * (1 - a) * 1 \= a-y ]

知道了单个样本的反向传播过程，接下来我们将样本数扩展到m个，看看计算有什么变化。

m个样本的计算

对于m个样本，逻辑回归的cost function计算过程如下：

[z^{(i)} = w^Tx^{(i)} + b ]

[hat y^{(i)} = a^{(i)} = sigma(z^{(i)}) ]

[J(w, b) = frac1{m}sum_{i=1}^m L(hat y, y) = -frac1{m}sum_{i=1}^m[y^{(i)}loghat y^{(i)} + (1-y^{(i)})log(1-hat y^{(i)})] ]

对应的偏导数为：

(frac{partial J}{partial w_1} = frac1{m}*sum_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)})*x_1^{(i)})

(frac{partial J}{partial w_2} = frac1{m}*sum_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)})*x_2^{(i)})

(frac{partial J}{partial b} = frac1{m}*sum_{i=1}^m(a^{(i)}-y^{(i)}))

其实就是将m个样本的偏导数求和，然后取平均。

使用伪代码描述这个过程如下：

J=0; dw1=0; dw2=0; db=0
for i = 1 to m:
    # 前向传播计算损失函数
    z(i) = w * x(i) + b
    a(i) = sigmoid(z(i))
    J += -[y(i)loga(i) + (1-y(i))log(1-a(i))]
    # 反向传播计算导数
    dz(i) = a(i) - y(i)
    dw1 += dz(i)*x1(i) # x1(i)：第i个样本的第一个特征
    dw2 += dz(i)*x2(i)
    db += dz(1)
# 遍历完m个样本，计算梯度均值
J /= m
dw1 /= m
dw2 /= m
db /= m

梯度计算完成后，对参数进行一次更新：

w1 -= alpha * dw1
w2 -= alpha * dw2
b -= alpha * db

这个过程是对样本集的一次遍历，梯度下降算法可以规定遍历的次数，遍历n次后整个梯度下降过程就完成了。

优化

整个计算过程中，使用的是显示的for循环，我们可以使用矩阵运算来对整个计算过程进行优化。

Z计算: (z = w^Tx+b)

对于单个样本，(z = w^Tx + b); 其中, (w in R^{n_x}，x in R^{n_x}, b in R)

for-loop形式

z = 0
for i in range(n_x):
    z += w[i]*x[i]
z += b

向量形式

import numpy as np
z = np.dot(w.T, x) + b

对于m个样本，z的计算结果为一个向量。$X in R^{n_x * m},w in R^{n_x} $

for-loop 方法

z = np.zeros((1, m))
for i in range(m):
    for j in range(n_x):
        z[i] += w[j]*X[j][i]

向量形式

z = np.dot(w.T, X)

使用矩阵运算后的LR计算过程如下：

# w: [n_x, 1]; x: [n_x, m], b: float
Z = np.dot(w.T, X) + b # [1, m]
A = sigmoid(Z)
# 反向传播计算梯度dw, db
dZ = A -Y
dw = 1./m * X * dZ.T
db = 1./m * np.sum(dZ)
# 参数更新
w -= learning_rate * dw
b -= learning_rate * db

使用矩阵运算，减少了对样本的for训练遍历以及对梯度计算过程中对参数的遍历。

Whenever possible, avoid explicit for-loops.

值得注意的是，这里关于非参数的矩阵表示，如训练样本矩阵X，标签矩阵Y都是以列的方式进行堆叠而成的。矩阵运算将for循环集中在一次计算过程中完成。

浅层神经网络（2层）

从某种角度上说，逻辑回归LR也可以看作一种神经网络，示意图如下。

中间的神经元完成两种运算，分别为z和a。

浅层神经网络示意图如下，其中每个“圆圈”的运算类似于LR，区别在于第二步a的计算中使用的激活函数不同。LR激活函数为sigmoid，这里可以为relu、tanh、sigmoid等等。

这个神经网络有输入层、隐藏层和输出层三层组成，但是一般情况下输入层忽略不计，所以这个神经网络有2层组成。

前向传播

我们这里设定(w_i^{[l]})表示神经网络第l层的第i个神经元的权重参数。对于单个样本而言，这个浅层神经网络的计算过程如下：

在隐藏层：

(z_1^{[1]} = w_1^{[1]T}*x + b_1^{[1]}, a_1^{[1]} = sigma(z_1^{[1]});)

(z_2^{[1]} = w_2^{[1]T}*x + b_2^{[1]}, a_2^{[1]} = sigma(z_2^{[1]});)

(z_3^{[1]} = w_3^{[1]T}*x + b_3^{[1]}, a_3^{[1]} = sigma(z_3^{[1]});)

(z_4^{[1]} = w_4^{[1]T}*x + b_4^{[1]}, a_4^{[1]} = sigma(z_4^{[1]});)

输出结果得到一个[4, 1]向量:[(a_1^{[1]};a_2^{[1]};a_3^{[1]};a_4^{[1]})]. 我们使用(a^{[1]})表示这个结果，同时作为输出层的输入继续计算。

输出层计算结果：

(z_1^{[2]} = w_1^{[2]T}*a^{[1]} + b_1^{[2]}, hat y=a^{[2]} = sigma(z^{[2]}))

使用矩阵表示整个计算过程如下，隐藏层的参数用(W^{[1]})表示，由隐藏层各个神经元对应权重参数以行的方式堆叠而成，这里形状为[4, 3] (权重参数的第一维度为本层神经元的数目，另一个维度为上一层网络的神经元数目)

单个样本的矩阵表示计算过程如下：

(z^{[1]} = W^{[1]}x + b^{[1]})

(a^{[1]} = sigma(z^{[1]}))

(z^{[2]} = W^{[2]}a^{[1]} + b^{[2]})

(a^{[2]}=sigma(z^{[2]}))

如果将样本数扩展到m个，使用for循环的计算过程为：

for i = 1 to m:
    z[1](i) = W[1]x(i) + b[1]
	a[1](i) = sigma(z[1](i))
	z[2](i) = W[2]a[1](i) + b[2]
	a[2](i) = sigma(z[2](i))

如果使用矩阵运算，我们设定m个训练样本以列的方式进行堆叠，用X表示，形状为[3, m]。使用矩阵运算过程如下，

Z[1] = W[1]X + b[1]
A[1] = sigma(Z[1])
Z[2] = W[2]A[1] + b[2]
A[2] = sigma(Z[2])

示意图如下：

反向传播

反向传播主要用于计算梯度dw1, dw2, dw3, db.为了方便理解，我们先用for循环进行介绍，之后再使用矩阵进行计算优化。

单个样本

计算过程类似于逻辑回归的反向传播过程。

(dz^{[2]} = a^{[2]} - y)

(dW^{[2]} = dz^{[2]} * frac{partial dz^{[2]}}{partial W^{[2]}} = dz^{[2]} * a^{[1]T})

$db^{[2]} = dz^{[2]} * frac{partial dz^{[2]}}{partial b^{[2]}} = dz^{[2]} $

(dz^{[1]} = dz^{[2]} * frac{partial dz^{[2]}}{partial a^{[1]}} * frac{partial a^{[1]}}{partial z^{[1]}} = W^{[2]T}*dz^{[2]} * g^{[1]^{'}}(z^{[1]}))

(dW^{[1]} = dz^{[1]} * frac{partial dz^{[1]}}{partial W^{[1]}} = dz^{[1]} * x^T)

(db^{[1]} = dz^{[1]} * frac{partial dz^{[1]}}{partial b^{[1]}} = dz^{[1]} * 1 = dz^{[1]})

对应的向量形式为(将m个样本堆叠在一起，一同计算)：

深层神经网络

深层神经网络是指包括多个隐藏的神经网络模型。如

深层神经网络计算过程类似于浅层神经网络，分为前向传播计算loss，反向传播计算梯度，然后更新权重；反复更新直到模型收敛。

模型的前向传播郭恒比较简单，我们接下来主要介绍模型的反向传播。以神经网络的某一层为例：

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Input: (da^{[l]})

Output: (da^{[l-1]}, dW^{[l]}, db^{[l]})

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我们知道前向传播过程中：

(z^{[l]} = W^{[l]}*a^{[l-1]} + b^{[l]})

(a^{[l]} = g(z^{[l]}))

那么，

(dz^{[l]} = da^{[l]} * g^{[l]'}(z^{[l]}))

(da^{[l-1]} = W^{[l]T} * dz^{[l]})

(dW^{[l-1]} = dz^{[l]} * a^{[l-1]})

(db^{[l-1]} = dz^{[l]})

得到(da^{[l-1]})之后，我们可以继续往前传播。

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为了方便运算，我们可以在前向传播过程中保存计算结果(g(z^{[l]}))。

深度神经网络的计算图可以描述如下。

神经网络的前向传播和反向传播计算过程可以总结如下：

总结

本文自下而上的对神经网络进行了介绍。首先，从逻辑回归开始介绍其计算过程、反向传播、更新方法，在介绍过程中先以单个样本的计算开始，然后扩展到m个样本，之后为了提高计算速度，采用向量化方法进行计算；我们了解了逻辑回归之后，介绍浅层神经网络。浅层神经网络是一个2层神经网络，每层神经网络的神经元可以看做是一个“逻辑回归”计算单元，区别在于使用的激活函数不同。浅层神经网络的介绍也是先从单个样本开始，通过单个样本明白其计算过程，然后扩展到m个样本，最终使用向量化方式完成计算。最后，介绍深层神经网络，深层神经网络只是增加了隐藏层的数目，其计算过程和浅层神经网络十分相似。

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