• 【模式匹配】更快的Boyer


    1. 引言

    前一篇中介绍了字符串KMP算法,其利用失配时已匹配的字符信息,以确定下一次匹配时模式串的起始位置。本文所要介绍的Boyer-Moore算法是一种比KMP更快的字符串匹配算法,它到底是怎么快的呢?且听下面分解。

    不同于KMP在匹配过程中从左至右与主串字符做比较,Boyer-Moore算法是从模式串的尾字符开始从右至左做比较。下面讨论的一些递推式都与BM算法的这个特性有关。

    思想

    首先,我们一般化匹配失败的情况,设主串y、模式串x的失配位置为i+ji,且主串、模式串的长度各为n与m,如下图:

    已匹配上的字符结构:

    y[i+j+1…j+m−1]=x[i+1…m−1]

     

    失配后下一次匹配时,模式串应如何对齐于主串呢?从上图中看出,我们可以利用两方面的信息:

    1. 已经匹配上的字符结构,
    2. 主串失配位置的字符

    前一篇中的KMP算法只利用第一条信息,而Boyer-Moore算法则是将这两方面的信息都利用到了,故模式串的移动更为高效。同时,根据这两方面信息(已匹配信息与失配信息),Boyer-Moore算法引申出来两条移动规则:好后缀移动(good-suffix shift)与坏字符移动(bad-character shift)。

    实例

    Moore教授在这里给出BM算法一个实例,比如主串=HERE IS A SIMPLE EXAMPLE,模式串=EXAMPLE。第一次匹配如下图:

    在第一次匹配中,模式串在尾字符发生失配,而主串的失配字符为S,且S不属于模式串的字符;因此下一次匹配时模式串指针应向右移动7位(坏字符移动)。第二次匹配如下图:

    第二次匹配也是在模式串尾字符发生失配,但不同的是主串的失配字符为P属于模式串的字符;因此下一次匹配时模式串的P(从右开始第一次出现)应对齐于主串的失配字符P(坏字符移动)。第三次匹配如下图:

    在第三次匹配中,模式串的后缀MPLE完全匹配上主串,主串的失配字符为I,不属于模式串的字符;那么下一次匹配是模式串指针应怎么移动呢(是坏字符移动,还是好后缀移动?)?BM算法采取的办法:移动步数=max{坏字符移动步数, 好后缀移动步数}。(具体移动步数的计算会在下面给出),这里是按好后缀移动;第四次匹配如下图:

    第四次匹配的情况与第二次类似,应按坏字符移动,第五次匹配(模式串与主串完全匹配)如下图:

    2. BM算法详述

    好后缀移动

    因已匹配上的字符结构正好为模式串的后缀,故名之为好后缀。好后缀移动一般分为两种情况:

    1. 移动后,模式串有子串能完全匹配上好后缀;
    2. 移动后,模式串只有能部分匹配上好后缀的子串

    我们用数组bmGs[i]表示模式串的失配位置为i时好后缀移动的步数。第一类情况如下图:

    第二类情况如下图:

    接下来的问题是应如何计算bmGs[i]呢?我们引入suff函数,其定义如下:

    suff[i]=max{k: x[i−k+1…i]=x[m−k…m−1},1≤i<m

     

    表示了模式串中末字符为x[i]的子串能匹配模式串后缀的最大长度。其中,suff[i]=m

    • 对于第一类情况,令i+1=m-suff[a],则x[i+1..m-1]=x[m-suff[a]..m-1];根据suff函数的定义,有x[m-suff[a]..m-1]=x[a-suff[a]-1..a];则x[i+1..m-1]=x[a-suff[a]-1..a],即可得到bmGs[i]=bmGs[m-suff[a]-1]=m-1-a

    • 对于第二类情况,由字符的部分匹配可得x[0..m-1-bmGs[i]]=x[bmGs[i]..m-1],即suff[m-1-bmGs[i]]=m-bmGs[i]。令m-bmGs[i]=a,有suff[a-1]=a。因为是部分匹配,故bmGs[i] = m-a > i+1,则i < m-a-1。综上,当i < m-a-1suff[a-1]=a时,bmGs[i]=m-a

    • 有可能上述两种情况都没能被匹配上,则bmGs[i]=m

    综合上述三类情况,bmGs数组计算的实现代码(参看[2]):

    void preBmGs(char *x, int m, int bmGs[]) {
       int i, j, suff[XSIZE];
     
       suffixes(x, m, suff);
     
       // case 3, default value
       for (i = 0; i < m; ++i)
          bmGs[i] = m;
       j = 0;
       // case 2
       for (i = m - 1; i >= 0; --i)
          if (suff[i] == i + 1)
             for (; j < m - 1 - i; ++j)
                if (bmGs[j] == m)
                   bmGs[j] = m - 1 - i;
       // case 1
       for (i = 0; i <= m - 2; ++i)
          bmGs[m - 1 - suff[i]] = m - 1 - i;
    }

    坏字符移动

    坏字符移动是根据主串失配位置的字符y[i+j]而进行的移动。同样地,我们用数组bmBc[c]表示主串失配位置字符为c时坏字符移动的步数。坏字符移动一般分为两种情况:

    1. 模式串x[0..i-1]有字符y[i+j]且第一次出现,如下图:

    2. 整个模式串都不包含该字符串,如下图:

    据此,可以将bmBc[c]定义如下:

    bmBc[c]=min{i:1≤i<m and x[m−1−i]=c}

     

    表示距模式串末字符最近的c字符;若c字符未出现在模式串中,则bmBc[c]=m。C实现代码:

    void preBmBc(char *x, int m, int bmBc[]) {
       int i;
     
       for (i = 0; i < ASIZE; ++i)
          bmBc[i] = m;
       for (i = 0; i < m - 1; ++i)
          bmBc[x[i]] = m - i - 1;
    }

    suff函数计算

    bmGs[i]的计算依赖于suff函数;如何更为高效的计算suff函数成为了接下来需要考虑的问题。符号标记的定义如下:

    • i表示当前位置;
    • f记录上一轮匹配的起始位置;
    • g记录上一轮匹配的失配位置。

    这里所说的匹配指的是与模式串后缀的匹配。同样地,一般化匹配过程,如下图:

    g < i < f则必有x[i]=x[m-1-(f-i)]=x[m-1-f+i]

    • suff[m-1-f+i] < i-g,则suff[i]=suff[m-1-f+i]
    • 否则,suff[i]suff[m-1-f+i]没有关系,要根据定义进行计算。

    C实现代码:

    void suffixes(char *x, int m, int *suff) {
       int f, g, i;
     
       suff[m - 1] = m;
       g = m - 1;
       for (i = m - 2; i >= 0; --i) {
          if (i > g && suff[i + m - 1 - f] < i - g)
             suff[i] = suff[i + m - 1 - f];
          else {
             if (i < g)
                g = i;
             f = i;
             while (g >= 0 && x[g] == x[g + m - 1 - f])
                --g;
             suff[i] = f - g;
          }
       }
    }

    复杂度分析

    3. 参考资料

    [1] Moore, Boyer-Moore algorithm example.
    [2] Thierry Lecroq, Boyer-Moore algorithm.
    [3] sealyao, Boyer-Moore算法学习.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yujihaia/p/7410408.html
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