10.19的一些题

T1 bzoj 1951 古代猪文

题目大意：

给正整数n G 求(G^sigma{C(n,n/i),i|n})%P

思路：

数论题大合集.jpg

设res=sigma{C(n,n/i),i|n 由于res可能很大

由费马小定理可得 我们只需要求res%(P-1)

快速求C需要lucas 因为P-1不是质数 所以还需要使用中国剩余定理合并

最后再快速幂即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define inf 2139062143
#define ll long long
#define MAXN 40100
#define MOD 999911659
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,inv[4][MAXN],m[4]={2,3,4679,35617};
ll g[4][MAXN],bas,ans[4];
inline void mem()
{
    for(int k=0;k<4;k++)
    {
        inv[k][0]=inv[k][1]=g[k][0]=g[k][1]=1;
        for(int i=2;i<m[k];i++) inv[k][i]=(m[k]-m[k]/i)*inv[k][m[k]%i]%m[k],g[k][i]=(g[k][i-1]*i)%m[k];
        for(int i=2;i<m[k];i++) (inv[k][i]*=inv[k][i-1])%=m[k];
        //cout<<k<<" "<<ans[0]<<" "<<ans[1]<<" "<<ans[2]<<" "<<ans[3]<<endl;
        //cout<<inv[k][2]<<endl;
    }
    //cout<<ans[0]<<" "<<ans[1]<<" "<<ans[2]<<" "<<ans[3]<<endl;
}
inline ll C(ll n,ll x,int k)
{
    //cout<<"C: "<<n<<" "<<x<<" "<<k<<" "<<g[k][n]<<" "<<inv[k][x]<<" "<<inv[k][n-x]<<endl;
    if(n<x) return 0LL;
    return (g[k][n]*inv[k][x]*inv[k][n-x])%m[k];
}
ll lucas(ll n,ll x,int k)
{
    //cout<<"L: "<<n<<" "<<x<<" "<<k<<" "<<g[k][n]<<" "<<inv[k][x]<<" "<<inv[k][n-x]<<endl;
    if(!x) return 1LL;
    return (lucas(n/m[k],x/m[k],k)*C(n%m[k],x%m[k],k))%m[k];
    //return *C(n%m[x],x%m[x],k))%m[x];
}
inline void work(int x)
{
    for(int i=0;i<4;i++){
        //cout<<x<<" "<<i<<" "<<ans[0]<<" "<<ans[1]<<" "<<ans[2]<<" "<<ans[3]<<endl;
        (ans[i]+=lucas(n,x,i))%=m[i];
    }
        //cout<<x<<" "<<ans[0]<<" "<<ans[1]<<" "<<ans[2]<<" "<<ans[3]<<endl;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return d;
}
inline ll q_pow(ll t)
{
    //cout<<t<<endl;
    ll res=1;
    for(;t;t>>=1,(bas*=bas)%=MOD)
    {
        //cout<<t<<" "<<res<<" "<<bas<<endl;
        if(t&1) (res*=bas)%=MOD;
    }
    return (res+MOD)%MOD;
}
int main()
{
    n=read(),bas=read();mem();
    if(bas==MOD) {puts("0");return 0;}
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0) {work(i);if(i*i!=n) work(n/i);}
    ll x,y,s=MOD-1,res=0;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        exgcd(m[i],s/m[i],x,y);
        (res+=y*s/m[i]*ans[i])%=s;
        //cout<<y*s/m[i]*ans[i]<<endl;
    }
    printf("%lld",q_pow((res+s)%s));
}

T2 bzoj 3398 牡牛和牝牛

题目大意：

N只牛 这些牛公母任意 牛们要站成一排，任意两头公牛之间至少有k头母牛 

求有多少种排队方案（所有公牛可看做一样 母牛可看做一样）

思路：

dp i 表示前i头的方案 注意dp 1 =2（公母都可以取）

当这一头为母牛时 dp i+=dp i-1

为公牛时 dp i += dp i-k-1 当i<=k+1时 dp i++

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define inf 2139062143
#define ll long long
#define MAXN 100100
#define MOD 5000011
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,dp[MAXN],k;
int main()
{
    n=read(),k=read(),dp[1]=2;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(i<=k+1) dp[i]=dp[i-1]+1;
        else (dp[i]=dp[i-1]+dp[i-k-1])%=MOD;
    printf("%d
",dp[n]);
}

T3 luogu 1771 方程的解

题目大意：

正整数 k x 求不定方程a1+a2+...+ak=g(x) g(x)=x^x(mod 1000)的正整数解组数

思路：

先快速幂求出g(x) 然后相当于插板 g(x)-1个位置插k-1个板 高精度组合数即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define inf 2139062143
#define ll long long
#define MAXN 100100
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,MOD=1000;
int q_pow(int t,int p)
{
    int res=1;
    for(;p;p>>=1,(t*=t)%=MOD)
        if(p&1) (res*=t)%=MOD;
    return res;
}
struct bign 
{
    int num[30],len;
    bign(){memset(num,0,sizeof(num));len=0;}
    void print()
    {
        printf("%d",num[len]);
        for(int i=len-1;i>=0;i--) printf("%09d",num[i]);
    }
    bign operator + (const bign a) const
    {
        bign res;res.len=max(len,a.len);
        for(int i=0;i<=res.len;i++)
            res.num[i]+=num[i]+a.num[i],
            res.num[i+1]=res.num[i]/MOD,res.num[i]%=MOD;
        if(res.num[res.len+1]) res.len++;
        return res;
    }
}c[1010][1010];
int main()
{
    n=read()-1,m=read(),m=q_pow(m%MOD,m)-1,MOD=1e9;
    c[0][0].num[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        c[i][0].num[0]=1;
        for(int j=1;j<=n&&j<=i;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }
    c[m][n].print();
}

T4 loj 10232 车的放置

题目大意：

形如这样的棋盘 求放k个互不攻击的车(jv) 的方案数

思路：

太菜了不会组合数 选择dp i j 表示前i行放了j个棋子的方案数

可以从i-1 行放了j 个棋子 与 前i-1行放了j-1个转移 后者需要乘这次的方案数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define inf 2139062143
#define ll long long
#define MAXN 5010
#define MOD 100003
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int a,b,c,d,k,f[MAXN][MAXN],v[MAXN];
int main()
{
    a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),k=read();
    for(int i=0;i<=b+d;i++) f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=b+d;i++)
        for(int j=1;j<=k&&j<=i;j++)
            if(i<=b) f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(a-j+1))%MOD;
            else f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(a+c-j+1))%MOD;
    printf("%d",f[b+d][k]);
}

T5 bzoj 3505 数三角形

题目大意：

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个（三点不共线）

思路：

先算出选三个点的方案数再减去共线的方案数

枚举每个三点共线构成线段的这个向量

对于每个向量的方案为可以平移到的位置即(n-i)*(m-j)再乘线段上选点的方案数即gcd(i,j)-1

因为i j为正整数即假设这个线段一端为网格左下角 而左上角的方案相同因此每个向量方案再乘二

但i j 其中一个等于0时不需要乘2因为平移时已经算过了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define inf 2139062143
#define ll long long
#define MAXN 5010
#define MOD 100003
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll n,m,ans;
int gcd(int a,int b) {if(!a) return b;return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
    n=read()+1,m=read()+1,ans=n*m*(n*m-1)*(n*m-2)/6;
    for(ll i=0;i<=n;i++)
        for(ll j=0;j<=m;j++)
            if(i+j) ans-= ((i*j)?2LL:1LL)*(gcd(i,j)-1LL)*(n-i)*(m-j);
    printf("%lld",ans);
}