1）在计算几何中，对于整点个数的求法：
皮尔定理：
2S = 2a + b - 2，其中S表示多边形面积，a表示多边形内的整点个数，b位边上的整点个数；
关于边上的整点个数求法：
通常以边在x，y轴上的投影长度进行计算，比如某边E对应x轴长度为a，对应y轴长度为b，则E边上整点个数 b(E) = gcd(a, b)+1，我是这样想的：
求出gcd(a, b)，则有(a', b') * gcd(a, b) = (a, b)，而a'与b'必为整点且互素且与(a, b)在一条边上（即不可再有满足条件的更小的整点），那么gcd(a, b)作为倍数即可表示整点个数，再加上边上的
另一个端点即+1，就为边上的点个数；
计算边上的整点个数时应当注意重叠问题。
2）平方和求和公式：
相关证明：https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F/3264126
立方和公式：
相关证明：https://baike.baidu.com/item/%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F/10557155
3）博弈论
尼姆博弈：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
对于n堆物品，第i堆物品有ai件；
以https://www.nowcoder.com/acm/contest/86/E为例：
代码：
1 #include "stdio.h" 2 #include "iostream" 3 #include "algorithm" 4 #include "math.h" 5 #include "stdlib.h" 6 using namespace std; 7 typedef long long ll; 8 int main(){ 9 //freopen("test.txt", "r", stdin);/////////////// 10 ll s[100005], n, q, op1, op2, ans; 11 while(cin>>n>>q){ 12 ans = 0; 13 for(int i = 0; i < n; i++){ 14 cin>>s[i]; 15 ans ^= s[i]; 16 } 17 while(q--){ 18 cin>>op1>>op2; 19 op1--; 20 ans ^= s[op1]; 21 ans ^= op2; 22 s[op1] = op2; 23 cout<<(ans ? "Kan":"Li")<<endl; 24 } 25 } 26 return 0; 27 }
最后ans为0，则先手必败。
4）对于一个b进制下的一个分数p / q，判断其是否为一个有限小数的方法：
先将其转化为一个最简分式 [即q/gcd（p， q）]，若为有限小数，那么有正整数r使得 q | b^r（根据小数的计算方法），也就是说q的所有质因数都为b的质因数（因为所有数都可以用质数表示）；
最后可以用一个while实现。
5）扩展欧几里得算法：
求解一组正整数 （x，y）解使得对应于一对正整数（a，b）有 a*x + b*y = (a, b); 该解一定存在（贝祖等式）。
C++代码：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(!b){ x = 1, y = 0; return a; } int q = exgcd(b, a % b, y, x); //q为最大公因数 y -= a/b*x; return q; } ////找到公因数之后回溯的同时进行逆推计算系数
6）① a, b为两个正整数，则2^a - 1 被 2^b - 1 除的最小非负余数为 2^r - 1，其中 r 是a 被 b除的最小非负余数：
证明：当a < b 时 明显成立；反之，有 a = q*b + r（0 <= r <=b）， 即有 2^a - 1 = 2^r((2^b)^q - 1) + 2^r - 1 = q1(2^b - 1) + 2^r - 1,
其中 q1 = 2^r((2^b)^(q-1) + ... + 2^b + 1) 为整数，结论成立；
② 设 a， b 是两个正整数，则2^a - 1 和 2^b - 1的最大公因数为2^(a,b) - 1;（由欧几里得除法和）① 可得。
③ 则有 正整数 2^a - 1 和 2^b - 1 的最大公因数是 2^(a,b) - 1（证明：因为 （2^a - 1, 2^b - 1）= 2^(a,b) - 1 ， 而2^(a,b) - 1 即 （a, b）= 1）.
7）整数分解定理：
对于正合数 n > 1, 如果存在整数 a, b 使得 n | a^2 - b^2，但 n ト a - b，n ト a + b，
则 （n, a-b）和（n, a+b）都是 n 的真因数（非1或n， 反证法）。
8）素数定理：
设 φ(x) 为不大于 x 的素数个数；
契比谢夫不等式：当x >= 2, (ln 2 /3)*(x / ln x) < φ(x) < 6*ln 2 (x / ln x);
素数定理：lim(x→∞)(φ(x) / (x / ln x)) = 1;
9）为什么OSI七层模型中只有数据链路层即将传输的数据添加报尾？
来自WikiPedia：
- 数据链路层（Data Link Layer）负责网络寻址、错误侦测和改错。当表头和表尾被加至数据包时，会形成帧。数据链表头（DLH）是包含了物理地址和错误侦测及改错的方法。数据链表尾（DLT）是一串指示数据包末端的字符串。例如以太网、无线局域网（Wi-Fi）和通用分组无线服务（GPRS）等。
分为两个子层：逻辑链路控制（logical link control，LLC）子层和介质访问控制（media access control，MAC）子层。
也就是说数据链路层所谓倒数第二层对分组的数据添加报尾，从而形成一个帧，实现对数据的分割。接收方也可据此进行识别。
慢慢记录。