BZOJ1863 [ZJOI2006]trouble 皇帝的烦恼 [思维题,二分答案,动态规划]

$皇帝的烦恼$

题目描述见链接 .

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$color{red}{正解部分}$

当是一条链时, 答案显然为 $max(A[i-1]+A[i])$, 但这是一个环, 需要考虑 $A_1$ 与 $A_n$ 的冲突关系 .

首先答案具有 单调性, 考虑二分答案, 二分出答案设为 $mid$, 然后是 $check()$ 部分 .
再设 $A_n$ 与 $A_1$ 的 最小集合交 大小为 $min\_inte[n]$, 我们的目标是使得 $min\_inte[n]$ 尽量小,
现在与 $A_1$ 不相交的集合 $S$ 大小为 $mid-A_1$,
再考虑到 $A_{n-1}$ 对 $A_n$ 的影响, 可选且与$A_1$不相交 的 集合大小 为 $|S| = mid - (A_1∪A_{n-1})$ .

$S$ 中的集合显然都应该加入到 $A_n$ 中, 然后若还不够, 就只能使用与 $A_1$ 冲突且不与 $A_{n-1}$ 冲突的集合了, 这会增加 $min\_inte[n]$ 的值 .
所以 $|S|$ 越大越好, 进而 $A_1 ∪ A_{n-1} = A_1 + A_{n-1} - (A_1 ∩ A_{n-1})$ 越小越好, 再进而 $A_1 ∩ A_{n-1}$ 越大越好,

为了达到这个目的, 设 $max\_inte[i]$ 表示 $A_i ∩ A_1$ 的最大值, 则通过类似上方的分析, 可以得到以下状态转移方程,

$min\_inte[i] = max(0, A_i - (mid - A_{i-1} - A_1 + max\_inte_{i-1}))$
$max\_inte[i] = min(A_i, A_1, (mid-A_{i-1})∩A_1=A_1-min\_inte_{i-1})$ .

二分界限为 $[0, 3*A_{max}]$, 时间复杂度 $O(NlogA_{max})$ .

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$color{red}{实现部分}$

有 $2$ 个要注意的点

1. 关于 $A_1$ 与 $A_2$ 的 $max\_inte, min\_inte$ 要特殊处理 .
2. 在检查 $mid$ 是否可行时, 需要先检查是否 $mid > max(A_i+A_{i-1})$ .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 1e5 + 10;

int N;
int Ans;
int Max_A;
int A[maxn];
int min_inte[maxn];
int max_inte[maxn];

bool chk(int mid){
        min_inte[1] = max_inte[1] = A[1];
        for(reg int i = 1; i < N; i ++) if(A[i] + A[i+1] > mid) return false;
        for(reg int i = 2; i <= N; i ++){
                min_inte[i] = std::max(0, A[i] - (mid-A[i-1]-A[1]+max_inte[i-1]));
                min_inte[i] = std::min(min_inte[i], A[i]);
                max_inte[i] = std::min(A[1], A[1] - min_inte[i-1]);
                max_inte[i] = std::min(max_inte[i], A[i]);
                if(i == 2) min_inte[i] = max_inte[i] = 0;
//                printf("%d: %d %d
", i, min_inte[i], max_inte[i]);
        }
        return !min_inte[N];
}

int main(){
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%d", &A[i]), Max_A = std::max(Max_A, A[i]);
        if(N == 1){ printf("%d
", A[1]); return 0; }
        int l = 0, r = 3*Max_A;
        Ans = 0x3f3f3f3f;
        while(l <= r){
                int mid = l+r >> 1;
                if(chk(mid)) Ans = std::min(Ans, mid), r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
        }
        printf("%d
", Ans);
        return 0;
}