洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（莫比乌斯反演）

题意：求$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$。

开始开心（自闭）化简：

$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$

=$sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$

=$sum_{d=1}^{n}sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor}ijd[gcd(i,j)==1]$

=$sum_{d=1}^{n}dsum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}mu(i)i^2S({lfloor frac{n}{id} floor})S({lfloor frac{m}{id} floor}),S(n)=(n+1)*n/2$

=$sum_{T=1}^{n}S({lfloor frac{n}{T} floor})S({lfloor frac{m}{T} floor})sum_{d|T}d(frac{T}{d})^2mu(frac{T}{d})$

=$sum_{T=1}^{n}S({lfloor frac{n}{T} floor})S({lfloor frac{m}{T} floor})Tsum_{d|T}(frac{T}{d})mu(frac{T}{d})$

令$F(T)=Tsum_{d|T}(frac{T}{d})mu(frac{T}{d})$

只需要预处理F的前缀和，前面整除分块问题就解决了。

$F(1)=1，F(p^c)=mu(1)*1+mu(p)*p=1-p$

可以知道F是一个积性函数，对T进行质因数分解，即可求得F(T)，可以在筛质数的时候进行求解，具体看代码。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+5;
const int MD=20101009;
bool p[N];
int pri[N],f[N],tot;
void init() {
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!p[i]) pri[tot++]=i,f[i]=1-i+MD;
        for(int j=0;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {
            p[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                f[i*pri[j]]=f[i];
                break;
            }
            else f[i*pri[j]]=1LL*f[i]*f[pri[j]]%MD;
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) f[i]=1LL*f[i]*i%MD;
    for(int i=1;i<N;i++) f[i]=(f[i]+f[i-1])%MD;
}
int cal(int x) {
    return 1LL*x*(x+1)/2%MD;
}
int main() {
    init();
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    int ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans=(ans+1LL*(f[r]-f[l-1]+MD)*cal(n/l)%MD*cal(m/l)%MD)%MD;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}