在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。——————欧拉函数的定义
---φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）
---若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)-1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
（证明：P^k有p*p*p....*p个p,共P^k个p)
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
----与N互质所有数的和：sum=n*φ(n)/2;//因为所有大于2的欧拉函数值都是偶数，所以/不会丢失数据
----欧拉函数的证明：
--容斥原理：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C 证明链接：http://wenku.baidu.com/view/374f4f8fc1c708a1284a4484.html
--因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk) // （其中p1,p2,...pk互为质数。）
k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk) // （其中p1,p2,...pk互为质数。）
欧拉函数模板：
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int T,temp,ans,n; cin>>T; while(T--) { cin>>n; temp=n; ans=n; for(int i=2; i*i<=n; i++)//寻找所有质因数 { if(n%i==0) { ans=ans/i*(i-1); n/=i; while(n%i==0) { n/=i; } } } if(n!=1) { ans=ans/n*(n-1); } printf("%d ",temp==1?0:ans); } return 0; }
ps:
每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数（1除外）。(用于数字分解）
------正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
例子：
-
1没有质因子。
-
5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）
-
6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)
-
2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。）
-
10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。
分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外
Pollard Rho因数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。
计算方法
短除法
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。
只含有1个质因数的数一定是亏数。