hiho #1038 : 01背包

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描述

且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！

小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

提示一：合理抽象问题、定义状态是动态规划最关键的一步

提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。

接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。

测试数据保证

对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5

对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入

5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897

样例输出

2099

回来再看看01背包问题。。

这道是最裸的01背包了吧。。。

   首先01背包题目的雏形是
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
其状态转移方程是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

第二层循环倒着正着都一样

没有优化的AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxV = 10^5;
const int maxn = 500+5;

int main()
{

	int N,M;
	cin>>N;//物品个数
	cin>>M;//背包容量
	int weight[N+5];
	int value[N+5];
	int f[N+5][M+5];
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(weight,0,sizeof(weight));
	memset(value,0,sizeof(value));
	for (int i=1;i<=N; i++)
	{
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++)
		for (int j=1; j<=M; j++)
		{
			if (weight[i]<=j)
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
			}
			else
				f[i][j]=f[i-1][j];
		}

	cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解

}

仔细观察动态方程式，上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。

 

再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

优化后版本：

优化后只要一个一维数组，这时候第二层的遍历顺序必须是从M-1，倒着来

#include<iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxV = 10^5;
const int maxn = 500+5;


int main()
{

	int N,M;
	cin>>N;//物品个数
	cin>>M;//背包容量
	int f[M+5];
	int weight[N+5];
	int value[N+5];
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(weight,0,sizeof(weight));
	memset(value,0,sizeof(value));
	for (int i=1;i<=N; i++)
	{
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++)
		for (int j=M; j>=1; j--)
		{
			if (weight[i]<=j)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
			}
		}

	cout<<f[M]<<endl;//输出最优解

}

继续优化：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int dp[100010];

int main()
{
    int n,m,v,w;
    int i,j,k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&w,&v);
        for(j=m;j>=w;j--)
        {
            if(dp[j]<dp[j-w]+v)
            dp[j] = dp[j-w]+v;
        }
    }
    printf("%d
",dp[m]);
    return 0;
}