牛顿方法

牛顿方法

本次课程大纲：

1、  牛顿方法：对Logistic模型进行拟合

2、 指数分布族

3、  广义线性模型（GLM）：联系Logistic回归和最小二乘模型

复习：

Logistic回归：分类算法

假设给定x以为参数的y=1和y=0的概率：

 

 

求对数似然性：

 

对其求偏导数，应用梯度上升方法，求得：

 

本次课程介绍的牛顿方法是一种比梯度上升快很多的方法，用于拟合Logistic回归

1、 牛顿方法

假设有函数，需要找使=0的

步骤：

1)       给出一个的初始值

2)       对求导，求导数为0时的值（就是求切线与x轴交点）

3)       重复步骤2

因为该点的导数值即为切线斜率，而斜率=该点y轴的值/该点x轴的变化值，所以每次的变化值：

 

*使用这个方法需要f满足一定条件，适用于Logistic回归和广义线性模型

* 一般初始化为0

应用于Logistic回归：

求对数似然的最大值，即求为0时的，根据上述推论，更新规则如下：

 

 

牛顿方法的收敛速度：二次收敛

每次迭代使解的有效数字的数目加倍：假设当前误差是0.1，一次迭代后，误差为0.001，再一次迭代，误差为0.0000001。该性质当解距离最优质的足够近才会发现。

牛顿方法的一般化：

是一个向量而不是一个数字，一般化的公式为：

 

是目标函数的梯度，H为Hessian矩阵，规模是n*n，n为特征的数量，它的每个元素表示一个二阶导数：

 

上述公式的意义就是，用一个一阶导数的向量乘以一个二阶导数矩阵的逆

优点：若特征数和样本数合理，牛顿方法的迭代次数比梯度上升要少得多

缺点：每次迭代都要重新计算Hessian矩阵，如果特征很多，则H矩阵计算代价很大

2、 指数分布族

回顾学过的两种算法：

对于：

若y属于实数，满足高斯分布，得到基于最小二乘法的线性回归；

若y取{0,1}，满足伯努利分布，得到Logistic回归。

问题：如Logistic回归中，为何选择sigmoid函数？sigmoid函数是最自然的默认选择。

接下来，会以这两个算法为例，说明它们都是广义线性模型的特例。

考虑上述两个分布，伯努利分布和高斯分布：

1)       伯努利分布

设有一组只能取0或1的数据，用伯努利随机变量对其建模：

，则，改变参数φ，y=1这一事件就会有不同概率，会得到一类概率分布（而非固定的）。

2)       高斯分布

，改变参数μ，也会得到不同的高斯分布，即一类概率分布。

上述这些分布都是一类分布的特例，这类分布称为指数分布族。

指数分布族的定义：

若一类概率分布可以写成如下形式，那么它就属于指数分布族：

 

η - 自然参数，通常是一个实数

T(y) – 充分统计量，通常，T(y)=y，实际上是一个概率分布的充分统计量（统计学知识）

对于给定的a，b，T三个函数，上式定义了一个以η为参数的概率分布集合，即改变η可以得到不同的概率分布。

证明伯努利分布是指数分布族：

可知：

 

由上式可见，η=log(φ/(1-φ))，可解出：φ=1/(1+exp(-η))，发现得到logistic函数（之后讨论其原因），则：

 

 

证明高斯分布是指数分布族：

，设方差为1（方差并不影响结果，仅仅是变量y的比例因子）

这种情况下高斯密度函数为：

 

可得：

 

 

*指数分布族包括：

高斯分布（正态分布），多元正态分布；

伯努利分布（01问题建模），多项式分布（对k个结果的事件建模）；

泊松分布（对计数过程建模）；

伽马分布，指数分布（对实数的间隔问题建模）；

β分布，Dirichlet分布（对小数建模）；

Wishart分布（协方差矩阵的分布）…

3、 广义线性模型GLM

选定了一个指数分布族后，怎样来推导出一个GLM呢？

假设：

（1），即假设试图预测的变量y在给定x，以θ作为参数的条件概率，属于以η作为自然参数的指数分布族

例：若要统计网站点击量y，用泊松分布建模

（2） 给定x，目标是求出以x为条件的T(y)的期望E[T(y)|x]，即让学习算法输出h(x) = E[T(y)|x]

（3），即自然参数和输入特征x之间线性相关，关系由θ决定。仅当η是实数时才有意义。若η是一个向量，

推导伯努利分布的GLM：

，伯努利分布属于指数分布族

对给定的x，θ，学习算法进行一次预测的输出：

 

得到logistic回归算法。

正则响应函数：g(η) = E[y;η]，将自然参数η和y的期望联系起来

正则关联函数：g-1

推导多项式分布的GLM：

多项式分布是在k个可能取值上的分布，即y∈{1,…,k}，如将收到的邮件分成k类，诊断某病人为k种病中的一种等问题。

（1）将多项式分布写成指数分布族的形式：

设多项式分布的参数：，且，φi表示第i个取值的概率分布，最后一个参数可以由前k-1个推导出，所以只将前k-1个视为参数。

多项式分布是少数几个T(y)!=y的分布，T(1)~T(k)都定义成一个k-1维的列向量，表示为：

这样定义T(y)是为了将多项式分布写成指数分布族形式。

*定义符号：指示函数，1{.}

1{True} = 1, 1{False} = 0，即大括号内命题为真，值为1,；否则为0。

例：1{2=3} = 0, 1{1+1=2} = 1

用T(y)i表示T(y)的第i个元素，则T(y)i = 1{y=i}

根据参数φ的意义（φi表示第i个取值的概率分布），可推出：

 

可得：

 

证明多项式分布式指数分布族。

再用η表示φ：

 

（2）根据上述假设（3）中自然参数和输入x的线性关系，可求得：

 

 

（3）根据上述假设（2）中的输出h(x) = E[T(y)|x]，可求得：

 

称这种回归算法为softmax回归，是logistic回归的推广。

Softmax回归的训练方法和logistic相似，通过极大似然估计找到参数θ，其对数似然性为：

 

再通过梯度上升或牛顿方法找对数似然性的最大值，即可求出参数θ。