1 Euler 公式 $e^{ipi}+1=0$
(1) 它把
a. $e:$ 自然对数的底 $approx 2. 718281828459$ (数分)
b. $i$: 虚数单位 $=sqrt{-1}$ (复变)
c. $pi$: 圆周率 $approx 3. 1415926$ (小学就学了)
d. $1$: 自然数的单位 (道生一,一生二,二生三,三生万物---老子关于万物的起源)
e. $0$: 人类最伟大的发现之一 (可以考虑平衡, 欠费等问题了) 这些数学中最重要的一些常数联系了起来.
(2) 它把现代数学的三大分支
a. 分析 (Analysis) $(e,i)$
b. 代数 (Algebra) $(1,0)$
c. 几何 (Geometry) $(pi)$ 联系了起来.
2. $$eex ea e&=lim_{n oinfty}sex{1+frac{1}{n}}^n =lim_{n oinfty}sex{1+frac{1}{n}}^{n+1}\ &quadsex{sex{1+frac{1}{n}}^n earrow e,quad sex{1+frac{1}{n}}^{n+1}searrow e}\ &=sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}\ &=1+1+frac{1}{2!}+cdots+frac{1}{n!}+ve_n. eea eeex$$ 于是我们可以用 $$ex 1+1+frac{1}{2!}+cdots+frac{1}{n!} eex$$ 来近似计算 $e$, 而产生的误差 $ve_n$ 满足 练习:: $$ex frac{1}{(n+1)!}<ve_n<frac{1}{n!n}. eex$$ 提示:: 估计余项 $$ex frac{1}{(n+1)!}+frac{1}{(n+2)!}+cdots. eex$$ 数 $e$ 是 Euler 于 1728 年引入作为自然对数的底.
(1) $e$ 是最``自然''的对数的底. Why? $$ex (ln x)'=frac{1}{x},quad (e^x)'=e^x. eex$$
(2) 说到对数, 在计算中重要, 把 ``乘法运算'' 变换成 ``加法运算''. 思考:: 有一种变换把 ``求导运算'' 变换成 ``乘法运算''. 知道是什么吗? 提示:: 利用分布积分可以证明 Fourier 变换 $$ex scrFsex{f}(xi) =int f(x)e^{-ixcdot xi} d x eex$$ 适合 $$ex scrFsex{frac{p f}{p x_1}} =ixi_1scrF(f). eex$$
(3) $e$ 是无理数, 也是超越数 (1873 年, Hermite). 开放性问题 (Open Problem):: $e+pi$ 是无理数么? 定义:: 一个数称为代数数, 如果它是某个整系数多项式的根. 不是代数数的数称为超越数.
3. $i$: 虚数单位
(1) 意大利数学家 Cardano 在解三次方程的时候引入的. 不过那时候还不知道 $sqrt{-1}$ 的含义是什么, 纯粹是一种形式记号.
(2) $sqrt{-1}$ 的几何意义 (画图: $sqrt{-1}cdotsqrt{-1}=-1$---乘以 $-1$ 相当于旋转 $180^circ$, 而乘以 $sqrt{-1}$ 相当于旋转 $90^circ$, 我们从``一维直线''到了``二维平面'').
(3) 把 $i=sqrt{-1}$ 引入后, 我们进入了二维世界. 可以作加法和乘法, 且都有逆运算---减法和除法. 如此构成一个 ``域 (Field)''. 注记:: 到此, 绝大部分数学家就够用了. 当然有些代数学家可能还不满足.
(4) 二维很重要! 殊不知数学分析用了一册讲一元, 一册讲多元. 而复变函数整一本讲二元! 说到 ``2'', 我们看看它的重要性 (不记得参考文献了, 以前看过一点):
a. $2$: 最小的素数, 唯一的偶素数.
b. $dps{F=Gfrac{mM}{r^2}}$, 万有引力.
c. 流体力学方程组 $$ex left{a{ll} p_tbu+(bucdot )bu-lapbu+ p=0,quad(mbox{动量守恒})\ cdotbu=0,quad(mbox{能量守恒}) ea ight. eex$$ 在 $2$ 维的时候解是整体存在的. 这里, $bu=(u_1,u_2)$ 是流体的速度, $p$ 是压力, $bucdot $ 是 $bu$ 与 $ $ 的``内积''. 在 $3$ 维的时候是 ``千禧年大奖难题''.
d. $E=mc^2$.
4. $pi$: 圆周率---单位圆的半周长.
(1) 远古时代: 古希腊 Archimedes 和古中国刘徽有 Archimedes- 刘徽算法---近似计算 $pi$. 具体如下: 先算出单位圆的外切和内接正 $6$ 边形的半周长, 为 $a_1=2sqrt{3}$, $b_1=3$. 然后不断平分, 可以得到外切和内接正 $2^ncdot 3$ 边形的半周长, 分别为 $$ex a_{n+1}=frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},quad b_{n+1}=sqrt{a_{n+1}b_n}. eex$$ 练习:: 利用单调有界定理证明 $sed{a_n}$、$sed{b_n}$ 收敛; 利用上述几何意义证明 $dps{lim_{n oinfty}a_n=lim_{n oinfty}b_n=pi}$. 注记:: 这个算法是一阶的 (数值分析), $$ex |a_{n+1}-pi|leq C|a_n-pi|. eex$$
(2) Newton 利用他自己分明的二项式定理和微积分用``分析''的方法给出了 $pi$ 的更好的估计: $$ex int_0^frac{1}{4}sqrt{x-x^2} d x +frac{1}{2}cdot frac{1}{4}cdot frac{sqrt{3}}{4} =frac{pi}{3}. eex$$
(3) 1976 年, Salami 和 Brent 给出了如下算法: $$ex a_0=1,quad b_0=s_0=frac{1}{sqrt{2}}; eex$$ $$ex a_n=frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},quad b_n=sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}; eex$$ $$ex s_n=s_{n-1}-2^n(a_n^2-b_n^2); eex$$ $$ex p_n=frac{2a_n^2}{s_n}. eex$$ 可以证明 $sed{p_n}$ 二阶收敛于 $pi$footnote{每算一次, 有效位数增加一倍.}, 即 $$ex |p_{n+1}-pi|leq C|p_n-pi|^2. eex$$
(4) 现在已经有了任意高阶的算法.
5. 证明 Euler 公式: 由 $$eex ea e^{i heta}=sum_{n=0}^inftyfrac{(i heta)^n}{n!} &=1+ifrac{ heta}{1!} -frac{ heta^2}{2!} -ifrac{ heta^3}{3!} +cdots\ cos heta=sum_{n=0}^infty (-1)^nfrac{ heta^{2n+1}}{(2n+1)!} &=1quadquad \,-frac{ heta^2}{2!}+cdots\ sin heta =sum_{n=0}^infty (-1)^n frac{ heta^{2n}}{(2n)!} &=quadquadfrac{ heta}{1!}quadquad \, -frac{ heta^3}{3!}+cdots\ eea eeex$$ 即知 $$ex e^{i heta}=cos heta+isin heta. eex$$ 令 $ heta=pi$ 即有 $e^{ipi}=-1 a e^{ipi}+1=0$.
6. 推荐读物 天才导引的历程---数学中的伟大定理 (The Journey through Genius---The Great Theorems in Mathematics).