设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$ex |f(x)|leq cfrac{1}{4}int_0^1 |f''(x)| d x,quad forall xin [0,1]. eex$$
解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$ex exists cin (0,1),st 0<f(c)=max_{xin [0,1]}|f(x)|. eex$$ 又由 Lagrange 中值定理, $$eex ea exists xi_1in (0,c),&st f(c)=f(c)-f(0)=f'(xi_1)c,\ exists xi_2in (c,1),&st f(c)=f(c)-f(1)=f'(xi_2)(c-1). eea eeex$$ 于是 $$eex ea int_0^1 |f''(x)| d x&geq int_{xi_1}^{xi_2} |f''(x)| d x\ &geq sev{int_{xi_1}^{xi_2}f''(x) d x}\ &=sev{f'(xi_2)-f'(xi_1)}\ &=sev{cfrac{1}{c-1}-cfrac{1}{c}}f(c)\ &=cfrac{f(c)}{c(1-c)}\ &geq 4f(c). eea eeex$$