1. 存在唯一性定理. 考虑 Cauchy 问题 $$eelabel{3.1.cauchy} sedd{a{ll} frac{ d y}{ d x}&=f(x,y),\ y(x_0)&=y_0, ea} eee$$其中
(1). $f(x,y)$ 在矩形区域 $$ex R:quad |x-x_0|leq a,quad |y-y_0|leq b eex$$ 上连续;
(2). $f(x,y)$ 在 $R$ 上关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件: $$ex exists L>0, |f(x,y_1)-f(x,y_2)|leq L|y_1-y_2|,quad (x,y_1),(x,y_2)in R. eex$$ 则 eqref{3.1.cauchy} 存在唯一的解 $phi(x)$, 定义在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上, $$ex h=minsed{a,frac{b}{M}},quad M=max_{(x,y)in R}|f(x,y)|. eex$$ 证明:
(1). 仅需在 $[x_0,x_0+h]$ 上证明结论, 在 $[x_0-h,x_0]$ 上类似可证.
(2). 我们采用 Picard 逐步逼近法证明结论, 大致思想为: $$ex mbox{ode }eqref{3.1.cauchy} mbox{ 的解}lra mbox{ide }y=y_0+int_{x_0}^x f(t,y) d tmbox{ 的解}; eex$$ 令 $$eelabel{3.1.picard} phi_0(x)=y_0,quad phi_n(x)=y_0+int_{x_0}^x f(t,phi_{n-1}(t)) d t,quad n=1,2,cdots. eee$$如果 $sed{phi_n(x)}$ 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上一致收敛于 $phi(x)$, 则 $sed{f(phi_n(x))}$ 也一致收敛于 $f(t,phi(t))$ (为什么?), 而在 eqref{3.1.picard} 中令 $n oinfty$ 有 $$ex phi(x)=y_0+int_{x_0}^x f(t,phi(t)) d t, eex$$ $phi(x)$ 即为所求. 这里, $phi_n(x)$ 称为第 $n$ 次近似解. 这种方法叫做逐步逼近法.
(3). $$ex mbox{ode }eqref{3.1.cauchy} mbox{ 的解}lra mbox{ide }y=y_0+int_{x_0}^x f(t,y) d tmbox{ 的解}; eex$$
(4). $|phi_n(x)-y_0|leq b$.
(5). $sed{phi_n(x)}$ 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上一致收敛.
(6). $phi(x)$ 是 ide 在 $[x_0-h,x_0+h]$ 上的连续解.
(7). 唯一性.
2. 注记.
(1). 误差估计 $$eelabel{3.1.error} |phi_n(x)-phi(x)|leq frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}. eee$$
(2). ``Lipschitz 条件'' 常用 ``$f$ 在 $R$ 上对 $y$ 有连续的偏导数'' 代替.
(3). 若 eqref{3.1.cauchy} 是线性的, $$eelabel{3.1.linear} frac{ d y}{ d x}=P(x)y+Q(x), eee$$则当 $P(x),Q(x)$ 在 $[al,eta]$ 上连续时, 对任意初值 $(x_0,y_0), x_0in (al,eta)$, eqref{3.1.linear} 的解在整个 $[al,eta]$ 上都有定义.
(4). 对一阶隐式 ode $F(x,y,y')=0$, 我们有书上 Page 86 的定理.
3. 作业. Page 88 T 3, Page 89 T 6.