(170331) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $sigma, au$ 为线性变换, 且 $sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $sigma au= ausigma$, 则 $ au$ 可由 $I$, $sigma$, $sigma^2$, $cdots$, $sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.
(170330) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $A$ 为对称矩阵, 存在线性无关的向量 $x_1,x_2$, 使得 $x_1^tAx_1>0$, $x_2^tAx_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 $x_3,x_4$ 使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关, 且 $x_3^tAx_3=x_4^tAx_4=0$.
(170329) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $A$ 为 $s imes n$ 矩阵. 证明: $$ex s- (E_s-AA^t)=n- (E_n-A^tA). eex$$
(170328) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $n$ 阶行列式 $$ex sev{a{cccc} a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn} ea}=1, eex$$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji}, i,j=1,2,cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $$ex sev{a{cccc} a_{11}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}+x&cdots&a_{nn}+x ea}. eex$$
(170327) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续可微函数, 满足 $f(0)=f(1)=0$. 试证: $$ex sez{int_0^1 f(x) d x}^2leq f{1}{12}int_0^1 |f'(x)|^2 d x, eex$$ 且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 其中 $A$ 是常数.
(170326) [熊金城点集拓扑习题3-2-01] 设 $(X, ho)$ 是一个度量空间, 证明映射 $ ho:X imes X o bR$ 是一个连续映射.
(170325) [熊金城点集拓扑习题3-1-02] 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开 (闭) 子集, 则 $Y$ 作为 $X$ 的子空间时特别地被称为 $X$ 的开 (闭) 子空间. 证明: (1) 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开子空间, 则 $Asubset Y$ 是 $Y$ 中的一个开集当且仅当 $A$ 是 $X$ 的一个开集; (2) 如果 $Y$ 是拓扑空间 $X$ 的一个闭子空间, 则 $Asubset Y$ 是 $Y$ 中的一个闭集当且仅当 $A$ 是 $X$ 的一个闭集.
(170324) [熊金城点集拓扑习题2-6-07] 设 $X$ 是一个度量空间. 证明: 如果 $X$ 有一个基只含有有限个元素, 则 $X$ 必为含有有限多个点的离散空间.
(170323) [熊金城点集拓扑习题2-5-02] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $A,Bsubset X$. 证明: (1) $A^-=Acup p A$, $A^o=As p A$; (2) $p (A^o)subset p A$, $p (A^-)subset p A$; (3) $p (Acup B)subset p Acup p B$, $(Acup B)^osupset A^ocup B^o$; (4) $p A=vno$ 当且仅当 $A$ 是一个既开又闭的集合; (5) $p(p A)subset p A$; (6) $Acap Bcap p (Acap B)=Acap Bcap (p Acup p B)$.
(170322) [熊金城点集拓扑习题2-4-01] 求集合的导集和闭包: (1) 设 $A$ 是有限补空间 $X$ 中的一个无限子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (2) 设 $A$ 是可数补空间 $X$ 中的一个不可数子集, 求 $A$ 的导集和闭包; (3) 求实数空间 $bR$ 中的有理数集 $bQ$ 的导集和闭包; (4) 设 $X^*$ 是 $S 2.2$ 习题 9 中定义的拓扑空间, 求单点集 $sed{infty}$ 的导集和闭包.
(170321) [熊金城点集拓扑习题2-2-10] 试证: (1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.
(170320) [熊金城点集拓扑习题2-1-01] 设 $si,si':bR imes bR obR$ 使得对任意 $x,yinbR$, 有 $si(x,y)=(x-y)^2$ 和 $si'(x,y)=|x^2-y^2|$. 证明 $si$ 和 $si'$ 都不是 $bR$ 的度量.
(170319) 设 $A$ 为 $m imes n$ 矩阵, $ (A)=k$, 证明: (1) 若 $A=A_1+A_2+cdots+A_l$, 且 $ (A_i)=1, i=1,2,cdots,l$, 则 $lgeq k$; (2) 存在秩为 $1$ 的矩阵 $A_1,A_2,cdots,A_k$ 使得 $A=A_1+A_2+cdots+A_k$.
(170318) [熊金城点集拓扑习题1-7-02] 设 $A$ 是实数集合 $bR$ 的一个子集, 她包含着某个非退化的开区间, 即存在 $a,binbR$, $a<b$, 使得 $Asupset (a,b)$. 证明 $card A=aleph$.
(170317) [熊金城点集拓扑习题1-5-01] 设 $X,Y$ 是两个集合, $f: X o Y$. 试证: (1) 对于任意 $Asubset X$, $$ex Asubset f^{-1}(f(A)); eex$$ (2) 对于任意 $Bsubset Y$, $$ex Bsupset f(f^{-1}(B)), eex$$ (3) $f$ 是一个满射当且仅当 $$ex B= f(f^{-1}(B)) eex$$ 对于任何 $Bsubset Y$ 成立.
(170316) [熊金城点集拓扑习题1-4-04] 实数集合 $bR$ 中第一个关系 $R$ 定义为 $$ex R=sed{(x,y)inbR^2; x-yin bZ}. eex$$ 证明 $R$ 是一个等价关系.
(170315) [熊金城点集拓扑习题1-3-03] 设 $X=sed{a,b,c}$, $Y=sed{d,e,f,g}$, $R=sed{(a,d),(a,e),(b,f)}$, $A=sed{a,c}$, $B=sed{d,e,g}$. 试求 $R(A)$, $R^{-1}(B)$, $R$ 的值域与定义域.
(170314) [南京师范大学2010年常微分方程复试试题] 设 $f(x)$ 是 $(a,+infty)$ 上的连续函数, 且 $$ex vlmp{x}f(x)=L, eex$$ $x_0>a$ 是一常数, $k$ 是一正常数. 求初值问题 $$ex seddm{ y'+ky=f(x)\ y(x_0)=y_0 } eex$$ 的解, 并计算该解当 $x o +infty$ 时的极限.
(170313) [南京师范大学2010年常微分方程复试试题] 当 $a$ 取何值时, 边值问题 $$ex seddm{ y''(x)+ay(x)=1\ y(0)=y(1)=0 } eex$$ 没有解.
(170312) 设 $R$ 是集合 $X$ 上的等价关系; $p:X o X/R$ 是自然映射; 对 $i=1,2$, $p_i:X imes X o X$ 是第 $i$ 个投射, 也即 $$ex p_1(x,y)=x,quad p_2(x,y)=y, forall (x,y)in X imes X. eex$$ 试证: $$ex p^{-1}[p(A)]=p_2[p_1^{-1}(A)cap R], forall Asubset X. eex$$ (170312解答)
(170311) 试证: $$ex arctan a-arctan b>f{a-b}{sqrt{1+a^2}sqrt{1+b^2}},quad forall a>b>0. eex$$
(170310) A represented matroid is a pair $M=(E,U)$ consisting of a finite set $E$ together with a subspace $U$ of $bF^E$. We say that a matrix $A$ generates a represented matroid $M=(E,U)$ if $U$ is the row-space of $A$; the represented matroid generated by $A$ is denoted $M(A)$. 不是很懂, 但是也可稍微翻译下: 一个可表示拟阵 $M=(E,U)$ 由一个有限集 $E$ 和 $bF^E$ 的一个子空间构成. 我们说一个矩阵 $A$ 生成一个可表示拟阵 $M=(E,U)$ 如果 $U$ 是 $A$ 的行向量; 记 $A$ 生成的可表示拟阵为 $M(A)$. 理解: 首先, 要知道 $bF^E$ 是指集合 $E$ 到数域 $bF$ 的所有映射全体构成的集合, 也即 $$ex bF^E=sed{f:E o bF}. eex$$ (实变或拓扑我不太记得是否用过这个记号...). 其次, 数域 $bF$ 上的 $m imes n$ 矩阵 $A$ 如果写成行向量的形式 $$ex A=sexm{ al_1\vdots\al_m}, eex$$ 那么可选 $$ex E=sed{1,cdots,n},quad U=sed{al_1,cdots,al_m}, eex$$ 其中每个 $al_i$ 因为有 $n$ 个分量 $(a_{i1},cdots,a_{in})$, 而可看成 $E$ 到 $bF$ 的映射 $$ex a{cccc} al_i:&E& o&bF\ &j&mapsto&a_{ij}. ea eex$$ 这样, $al_iin bF^E$, $UsubsetbF^E$.
(170309) 相遇和作别有很多种, 最棒的莫过于温暖一笑, 急人之难, 临去时挥一挥手, 道声再见.
(170308) 生活就是一种永恒的沉重的努力. (米兰.昆德拉)
(170307) 年轻人不守时是永远迟到; 老年人不守时是永远早到.
(170306) 很多时候, 我们本来是上网找一个东西, 结果看着看着, 看别的东西去了, 一个广告有兴趣, 点开来; 一个没见过的词, 查下; 等等. 结果半天后, 自己要找的东西还没开始弄了. 这就是知识的迷宫. 为此, 一定要有明确的目标, 摒弃一切杂念.
(170305) 礼尚往来, 来而不往非礼也. 注重的是礼节和礼数, 而非礼物的价值本身.
(170304) 在传统熟人社会, 决定人们关系的主要是血缘和地缘这种天然纽带; 但在计划经济体制下, 能帮你排除困难的人或能给你带制造困难的人, 才是你最重要的社会资源.
(170303) 人世间最美好的礼物是来自陌生人的善意.
(170302) 学生要体验 ``学而时习之'' 的快乐, 必须放弃手机拍照而手写. 老师要做到 ``温故而知新'', 也要少用PPT 而多板书.
(170301) 设矩阵 $A=(a_{ij})_{n imes n}$, $B=(b_{ij})_{n imes n}$, 定义 $C=(a_{ij}b_{ij})_{n imes n}$. 证明: 若 $A,B$ 半正定, 则 $C$ 半正定.