[project euler] program 4

上一次接触 project euler 还是2011年的事情，做了前三道题，后来被第四题卡住了，前面几题的代码也没有保留下来。

今天试着暴力破解了一下，代码如下：

（我大概是第 172,719 个解出这道题的人）

program 4

A palindromic number reads the same both ways. The largest palindrome made from the product of two 2-digit numbers is 9009 = 91 × 99. Find the largest palindrome made from the product of two 3-digit numbers.

using System;

public class PlindromeNumber
{
    static void Main()
    {
        long total;
        long max = 900000;
        int pre = 0;
        int post = 0;
        for(int i = 999; i > 100; i--)
        {
            for(int j = 999; j > 100; j--)
            {
                total = i*j;
                if(CheckPlindromeNumber(total))
                {
                    if(max < total)
                    {
                        max = total;
                        pre = i;
                        post = j;
                    }                    
                }
            }
        }        
        Console.WriteLine("Max Plindrome Number is : " + max + " = " + pre + " * " + post);
    }

    static bool CheckPlindromeNumber(long number)
    {
        bool result = false;
        if(number/100000 == 0)
        {
            return false;
        }
        if( (number/100000 == number%10) && (number/10000%10 == number/10%10) && (number/1000%10 == number/100%10) )
        {
            result = true;
        }
        return result;
    }
}

试着使用 Vim 写了这样一段代码，后来又花了不少时间去配置 Vim。

作为一个 Vim 的新手，花费了不少时间，安装了 pathogen.vim 插件，然后装了 vim-csharp 插件，初步试用没有感觉有什么大的帮助。

题目做对之后，又看了一下别人的解题思路，其实之前也隐约想到过以下的两种办法，不过去没有最终分析出一个可行的办法。

解法一来自于 euler 论坛的 etatsui，就是假设这个 palindrome 是 abccba 的形式，那么：

palindrome = a * 100000 + b * 10000 + c * 1000 + c * 100 + b * 10 + a * 1

palindrome = 100001a + 10010b + 1100c

palindrome = 11(9091a + 910b + 100c) = m * n

其中 a, b, c 是 1 位数， m, n 是 3 位数

假设，11*10 < m < 11*99

（这个假设是一个比较有意思的地方，从上面的算式可以知道，palindrome 有一个因子是 11，那么我们可以假设 m 是包括这个因子的，又因为有 m 是 3 位数这样的限制，所以可以这样假设）

etatsui 提供的代码中有一个小的 bug，改正之后的代码如下：

using System;

class Palindrome_etatsui
{
    static void Main() 
    {
        long num;
        long result = 0;
        for(int a=9; a>=1; a--)
        {
            for(int b=9; b>=0; b--)
            {
                for(int c=9; c>=0; c--)
                {
                    num = 9091 * a + 910 * b + 100 * c;
                    // Console.WriteLine(num);
                    for(int divider=90; divider>=10; divider--)
                    {
                        // look for divider that can divide
                        // and also doesn't make n > 999
                        if ((num%divider) == 0)
                        {
                            if ((num/divider) > 999)
                            {
                                break;
                            }
                            else
                            {
                                result = num * 11; // found it
                                Console.WriteLine("Palindrom(etatsui) is : " + result);
                                return;
                            }
                        }
                        else
                        {
                            continue;
                        }
                    }
                }
            }
        }       
    }
}

在 euler 的论坛上，还看到了 Begoner 有一个用笔来解答的方案，不过似乎有一点小瑕疵。

假设 palindrame 的两个因子为 abc 和 def，那么

abc * def = (100a + 10b + c)*(100d + 10e + f)

乘法运算得

                               100cd + 10ce + cf　　

                1000bd + 100be + 10bf

10000ad + 1000ae + 100af

这个时候，Begoner 假设 palindrone 的第一个数字为 9 （我觉的这里有点问题），然后 cf 的末尾数一定是 9，而乘积为 9 的数，末尾只有三种可能：1 和 9，3 和 3，7 和 7。

所以，这两个因子应该以 9 开头，而以 1，3，4，9 结尾，并且其中一个一定能被 11 整除（关于被 11 整除的原因和上面的一个方法一样）。

而 900 到 1000 之间，能被 11 整除的，只有：902，913， 924， 935，946，957，968， 979， 990 这 9 个数。

从而满足以上两个条件的只有：913，957，979

这样就有：

(900 + 10 + 3)(900 + 10x + 3)

(900 + 50 + 7)(900 + 10x + 7)

(900 + 70 + 9)(900 + 10x + 1)

整理之后：

824439  + 9130x

867999  + 9570x

882079  + 9790x

然后可以让 x 从 9 到 0 开始检测。（Begoner 在这里只选取了第一个式子，然后得出 x 一定等于9，否则就不能满足让 palindrame 的第一位是 9，有点看不明白）

这个方法似乎没有办法用程序来表达，另外有比较明显的拼凑的痕迹，不推荐只是记录一下 Begoner 的思路。

参考链接：

1. [Project Euler] Problem 4