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1. 一水池用甲管注水, 可以在3小时内使空池注满; 用乙管放水, 可以在2小时内使满池水放空; 用丙管放水, 可以在4小时内使满池水放空. 现在先在空池时开甲管1小时, 然后三管齐开, 问什么时候水池放空?
解答:
设再过 $x$ 小时水池放空. $${x + 1 over 3} = {xover2} + {xover4} = 1 Rightarrow x = 0.8.$$ 因此再过0.8小时水池放空.
2. 播种一块地, 甲, 乙合作20小时可以做完, 已知甲与乙速度之比是 $5:4$, 甲, 乙若单独做各需几小时?
解答:
设甲, 乙单独做分别需要 $x$, $displaystyle{5over4}x$ 小时. $${1over x} + {1 over {5over4}x} = {1over20}Rightarrow x = 36.$$ 因此甲需要36小时, 乙需要45小时.
3. 有一水池底有泉水不断地涌出. 要将满池的水抽干, 用12台水泵需5小时, 用10台水泵需7小时. 问要在2小时抽干, 至少需几台水泵? (设每小时内各水泵抽水量相同, 涌出的水量也相同)
解答:
设水泵工作效率为 $x$, 水池中原有水为 $y$, 泉水涌出效率为 $z$, 2小时抽干水至少需要 $w$ 台水泵. $$egin{cases}60x = y + 5z\ 70x = y + 7z\ 2wx ge y + 2zend{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}y = 35x\ z = 5x\ 2wx ge y + 2zend{cases} Rightarrow 2wx ge 45x Rightarrow w ge 22.5.$$ 因此至少需要23台水泵.
4. 甲, 乙, 丙三人一起加工一批零件, 加工个数有如下关系: 甲加工的个数的2倍与乙的个数的3倍的和恰好等于丙的个数的8倍; 乙的个数与丙的个数的差恰好等于甲的 $displaystyle{1over6}$, 求甲, 乙, 丙三人加工的零件个数的比.
解答:
设甲, 乙, 丙分别为 $x$, $y$, $z$. $$egin{cases}2x + 3y = 8z\ y - z = {1over6}x end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}x = 2z\ y = {4over3}z end{cases} Rightarrow x:y:z = 2:{4over3}:1 = 6:4:3.$$ 因此三人加工零件个数之比为 $6:4:3$.
5. 有一水库, 在单位时间内有一定量的水流入时, 同时也向外放水, 按现在的放水量, 水库中的水可使用40天, 因最近在水源的地方降雨, 流入水库的量增加 $20\%$, 如果放水量增加 $10\%$, 则仍可使用40天, 如果按原来的放水量放水, 可使用多少天?
解答:
设水库中原来水量为 $a$, 每日流入量为 $b$, 每日放出量为 $c$, 按原来放水量可使用 $x$ 天. $$egin{cases}a + 40b = 40c\ a + 40cdot1.2b = 40cdot1.1c\ a + 1.2bx = cxend{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}c = 2b\ a = 40b\ a + 1.2bx = cxend{cases} Rightarrow 40b + 1.2bx = 2bx Rightarrow x = 50.$$ 即可使用50天.
6. $A, B$两地相距30 km, 甲, 乙两人同时骑自行车从 $A$ 地出发到 $B$ 地, 甲比乙每小时快2 km, 结果甲比乙早到半小时, 两人骑自行车每小时各行多少千米?
解答:
设乙的速度为 $x$, 甲的速度为 $x+2$. $${30over x} = {30 over x+2} + {1over2} Rightarrow x = 10.$$ 因此甲的速度为 $12$, 乙的速度为 $10$.