假设我们现在拿到了一个非常大的数组，对于这个数组里面的数字要反复不断地做两个操作。
1、（query）随机在这个数组中选一个区间，求出这个区间所有数的和。
2、（update）不断地随机修改这个数组中的某一个值。
时间复杂度：
枚举：
枚举L~R的每个数并累加。
- query：O（n）
找到要修改的数直接修改。
- update：O（1）
如果query与update要做很多很多次，query的O（n）会被卡住，所以时间复杂度会非常慢。那么有没有办法把query的时间复杂度降成O（1）呢？其中一种方法如下：
- 先建立一个与a数组一样大的数组。
- s[1]=a[1];s[2]=a[1]+a[2];s[3]=a[1]+a[2]+a[3];...;s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]（在s数组中存入a的前缀和）
- 此时a[L]+a[L+1]+...+a[R]=s[R]-s[L-1]，query的时间复杂度降为O（1）。
- 但若要修改a[k]的值，随之也需修改s[k],s[k+1],...,s[n]的值，时间复杂度升为O（n）。
前缀和：
query：O（1）
update：O（n）
- 我们发现，当我们想尽方法把其中一个操作的时间复杂度改成O（1）后，另一个操作的时间复杂度就会变为O（n）。当query与update的操作特别多时，不论用哪种方法，总体的时间复杂度都不会特别快。
- 所以，我们将要讨论一种叫线段树的数据结构，它可以把这两个操作的时间复杂度平均一下，使得query和update的时间复杂度都落在O（n log n）上，从而增加整个算法的效率。
线段树
假设我们拿到了如下长度为6的数组：
在构建线段树之前，我们先阐述线段树的性质：
1、线段树的每个节点都代表一个区间。
2、线段树具有唯一的根节点，代表的区间是整个统计范围，如[1,N]。
3、线段树的每个叶节点都代表一个长度为1的元区间[x,x]。
4、对于每个内部节点[l,r]，它的左子结点是[l,mid]，右子节点是[mid+1,r]，其中mid=(l+r)/2（向下取整）。
依照这个数组，我们构建如下线段树（结点的性质为sum）：
若我们要求[2-5]区间中数的和：
若我们要把a[4]改为6：
- 先一层一层找到目标节点修改，在依次向上修改当前节点的父节点。
接下来的问题是：如何保存这棵线段树？
- 用数组存储。
若我们要取node结点的左子结点（left）与右子节点（right），方法如下：
- left=2*node+1
- right=2*ndoe+2
举结点5为例（左子结点为节点11，右子节点为节点12）：
- left5=2*5+1=11
- right5=2*5+2=12
接下来给出建树的代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000;
int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
int size = 6;
int tree[N] = {0};
//建立范围为a[start]~a[end]
void build(int a[], int tree[], int node/*当前节点*/, int start, int end){
//递归边界(即遇到叶子节点时)
if (start == end){
//直接存储a数组中的值
tree[node] = a[start];
}
else {
//将建立的区间分成两半
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;//左子节点的下标
int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标
//求出左子节点的值(即从节点left开始,建立范围为a[start]~a[mid])
build(a, tree, left, start, mid);
//求出右子节点的值(即从节点right开始,建立范围为a[start]~a[mid])
build(a, tree, right, mid+1, end);
//当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值
tree[node] = tree[left] + tree[right];
}
}
int main(){
//从根节点(即节点0)开始建树,建树范围为a[0]~a[size-1]
build(a, tree, 0, 0, size-1);
for(int i = 0; i <= 14; i ++)
printf("tree[%d] = %d
", i, tree[i]);
return 0;
}
运行结果：
update操作：
- 确定需要改的分支，向下寻找需要修改的节点，再向上修改节点值。
- 与建树的函数相比，update函数增加了两个参数x，val，即把a[x]改为val。
例：把a[x]改为6（代码实现）
void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){
//找到a[x],修改值
if (start == end){
a[x] = val;
tree[node] = val;
}
else {
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;
int right = 2 * node + 2;
if (x >= start && x <= mid) {//如果x在左分支
update(a, tree, start, mid, x, val);
}
else {//如果x在右分支
update(a, tree, right, mid+1, end, x, val);
}
//向上更新值
tree[node] = tree[left] + tree[right];
}
}
在主函数中调用：
//把a[x]改成6
update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6);
运行结果：
query操作：
- 向下依次寻找包含在目标区间中的区间，并累加。
- 与建树的函数相比，query函数增加了两个参数L，Rl，即把求a的区间[L,R]的和。
例：求a[2]+a[3]+...+a[5]的值（代码实现）
int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){
//若目标区间与当时区间没有重叠,结束递归返回0
if (start > R || end < L){
return 0;
}
//若目标区间包含当时区间,直接返回节点值
else if (L <=start && end <= R){
return tree[node];
}
else {
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;
int right = 2 * node + 2;
//计算左边区间的值
int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R);
//计算右边区间的值
int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R);
//相加即为答案
return sum_left + sum_right;
}
}
在主函数中调用：
//求区间[2,5]的和
int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5);
printf("ans = %d", ans);
运行结果：
最后，献上完整的代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000;
int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
int size = 6;
int tree[N] = {0};
//建立范围为a[start]~a[end]
void build(int a[], int tree[], int node/*当前节点*/, int start, int end){
//递归边界(即遇到叶子节点时)
if (start == end) {
//直接存储a数组中的值
tree[node] = a[start];
}
else {
//将建立的区间分成两半
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;//左子节点的下标
int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标
//求出左子节点的值(即从节点left开始,建立范围为a[start]~a[mid])
build(a, tree, left, start, mid);
//求出右子节点的值(即从节点right开始,建立范围为a[start]~a[mid])
build(a, tree, right, mid+1, end);
//当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值
tree[node] = tree[left] + tree[right];
}
}
void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){
//找到a[x],修改值
if (start == end){
a[x] = val;
tree[node] = val;
}
else {
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;
int right = 2 * node + 2;
if (x >= start && x <= mid) {//如果x在左分支
update(a, tree, left, start, mid, x, val);
}
else {//如果x在右分支
update(a, tree, right, mid+1, end, x, val);
}
//向上更新值
tree[node] = tree[left] + tree[right];
}
}
//求a[L]~a[R]的区间和
int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){
//若目标区间与当时区间没有重叠,结束递归返回0
if (start > R || end < L){
return 0;
}
//若目标区间包含当时区间,直接返回节点值
else if (L <=start && end <= R){
return tree[node];
}
else {
int mid = (start + end) / 2;
int left = 2 * node + 1;
int right = 2 * node + 2;
//计算左边区间的值
int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R);
//计算右边区间的值
int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R);
//相加即为答案
return sum_left + sum_right;
}
}
int main(){
//从根节点(即节点0)开始建树,建树范围为a[0]~a[size-1]
build(a, tree, 0, 0, size-1);
for(int i = 0; i <= 14; i ++)
printf("tree[%d] = %d
", i, tree[i]);
printf("
");
//把a[x]改成6
update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6);
for(int i = 0; i <= 14; i ++)
printf("tree[%d] = %d
", i, tree[i]);
printf("
");
//求区间[2,5]的和
int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5);
printf("ans = %d", ans);
return 0;
}
运行结果：
