2142: 礼物
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
数据规模和约定
设 $ P = \prod_{i=1}^n p_i^{c_i} $ 且 $ p_i $ 为质数
$1 \leqslant n \leqslant 10^9，1 \leqslant m \leqslant 5，1 \leqslant p_i^{c_i} \leqslant 10^5 $。
拓展卢卡斯和中国剩余定理的裸题
题目可以转换为求
\[\prod_{i=1}^n C_{n- \sum_{j=0}^{i-1} w[j]}^{w[i]}
\]
剩下的就是求 $ C_n^m % p $ 的问题了。
因为n，m，p都很大，所以我们可以使用拓展卢卡斯求出对于每个 $ p_i^{c_i} $ 余数，然后通过中国剩余定理合并即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,st,ed) for(register int i=st,i##end=ed;i<=i##end;++i)
#define DREP(i,st,ed) for(register int i=st,i##end=ed;i>=i##end;--i)
#define pii pair<ll,ll>
typedef long long ll;
inline int read(){
int x;
char c;
int f=1;
while((c=getchar())!='-' && (c<'0' || c>'9'));
if(c=='-') c=getchar(),f=-1;
x=c^'0';
while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
return x*f;
}
inline ll readll(){
ll x;
char c;
ll f=1;
while((c=getchar())!='-' && (c<'0' || c>'9'));
if(c=='-') c=getchar(),f=-1;
x=c^'0';
while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<1ll)+(x<<3ll)+(c^'0');
return x*f;
}
vector<pii> vc;
ll ksm(ll x,ll y,ll mod){
ll res=1;
while(y){
if(y&1ll) res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1ll;
}
return res;
}
ll exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
ll res=exgcd(y,x,b,a%b);
y-=a/b*x;
return res;
}
ll inv(ll a,ll b){
a%=b;
ll x,y;
exgcd(x,y,a,b);
x=(x%b+b)%b;
if(!x) x+=b;
return x;
}
ll fac(ll x,ll u,ll mod){
if(!x || x==1) return 1;
ll ans=1,num=1;
if(x/mod){
for(ll i=2;i<mod;++i)
if(i%u) num=num*i%mod;
ans=ans*ksm(num,x/mod,mod);
}
ans=ans*fac(x/u,u,mod)%mod;
x%=mod;
for(ll i=2;i<=x;++i)
if(i%u) ans=ans*i%mod;
return ans;
}
ll calc(ll x,ll u){
ll res=0;
for(;x;x/=u) res+=x/u;
return res;
}
ll C(ll n,ll m,ll u,ll v){
ll x=fac(n,u,v),y=fac(m,u,v),z=fac(n-m,u,v);
// cout<<n<<' '<<m<<' '<<v<<' '<<x<<' '<<y<<' '<<z<<endl;
ll num=calc(n,u)-calc(m,u)-calc(n-m,u);
x=x*inv(y,v)%v*inv(z,v)%v;
return x*ksm(u,num,v)%v;
}
ll exLucas(ll n,ll m,ll mod){
if(m>n) return 0;
ll ans=0;
REP(i,0,vc.size()-1){
pii u=vc[i];
ll x=u.first,y=u.second;
ans=(ans+inv(mod/y,y)*(mod/y)%mod*C(n,m,x,y)%mod)%mod;
}
return ans;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("china.in","r",stdin);
freopen("china.out","w",stdout);
#endif
ll mod=readll(),n=readll(),ans=1;
int m=read(),u=mod;
for(ll i=2;i*i<=u;++i){
if(u%i) continue;
ll x=1;
while(u%i==0) u/=i,x*=i;
vc.push_back(make_pair(i,x));
// cout<<i<<' '<<x<<endl;
}
if(u!=1) vc.push_back(make_pair(u,u));
// cout<<u<<endl;
REP(i,1,m){
ll x=readll();
ans=ans*exLucas(n,x,mod)%mod;
if(!ans){
printf("Impossible\n");
return 0;
}
n-=x;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}