将学习到什么
特征值和特征向量的定义，多角度理解其意义，以及相关重要性质。
从定义出发
第一步扔出定义
需要注意的是特征向量必须非零，而特征值可以为零。对于对角矩阵 (D = mathrm{diag}(d_1,d_2,cdots,d_n))，显然标准基 (e_i,\, i=1,2,cdots,n) 就是 (D) 的特征向量，而 (e_i) 对应和特征值就是 (d_i).
从线性方程组的角度
定义的式子可以改写为齐次线性方程组：(lambda x-Ax=(lambda I -A)x=0)，如果该方程组有非平凡解，那么 (lambda) 就是 (A) 的一个特征值，且 (lambda I-A) 就是奇异的。相反，如果 (lambda in mathbb{C}) 且 (lambda I-A) 是奇异的，那么就存在非零向量 (x)，使得 $(lambda I -A)x =0 $，即 ((lambda,x)) 是一个特征对。
如果 ((lambda,x)) 是一个特征对，给定非零纯量 (c)， ((lambda,cx)) 也是一个特征对，通常情况下，我们取 (c= 1 / lVert x
Vert _2)，即标准化特征向量为单位向量：(xi=cx)，值得一提的是，标准化情况下特征向量也并不唯一，((lambda,mathrm{e}^{mathrm{i} heta}xi),\,forall heta in mathbb{R}) 都是 (A) 的特征值-特征向量对。
从代数的角度
特征向量恰好是这样的非零向量：用 (A) 来表示与纯量 (lambda) 相乘有相同的结果。
从代数基本定理出发
实系数或者复系数 (k) 次多项式
egin{align}
p(t)=a_k t^k +a_{k-1}t^{k-1}+cdots+a_1 t+a_0, quad a_k
eq 0
label{ppp}
end{align}
此表达式可以拓展到给定的方阵上，即
egin{align}
p(A)=a_k A^k +a_{k-1}A^{k-1}+cdots+a_1 A+a_0, quad a_k
eq 0
end{align}
通用约定 (A^0=I), (k) 次多项式
ef{ppp} 中，如果 (a_k=1)，那就被说成是首一的，由于 (a_k
eq 0)，故而 (a_k^{-1}p(t)) 总是首一的。
由代数基本定理知，次数为 (k geqslant 1) 的任何首一多项式
ef{ppp} 可以表示成恰好 (k) 个复的或者实的线性因子的乘积
egin{align}
p(t)=(t-alpha_1)cdots(t-alpha_k)
end{align}
(p(t)) 的这个表达式除了因子的排列顺序外是唯一的，由此可知一个次数 (k geqslant 1) 的多项式至多有 (k) 个不同的零点，因为有因子可能会重复。因子 ((t-a_j)) 重复的次数就是 (alpha_j) 作为 (p(t)) 零点的重数。
类似，下面给出 (p(A)) 的分解式
egin{align}
p(A)=(A-alpha_1 I)cdots(A-alpha_k I)
end{align}
于是 (p(A)) 的特征值与 (A) 的特征值以一种简单的方式联系在一起。
证明： 我们有
egin{align*}
p(A)x=a_kAkx+a_{k-1}A{k-1}x+cdots+a_1Ax+a_0 x, quad a_k
eq 0
end{align*}
重复应用特征值-特征向量方程又有 (A^jx=A^{j-1}Ax=A^{j-1}lambda x=lambda A^{j-1}x=cdots=lambda^j x). 从而
[
p(A)x=a_k lambda^kx+cdots+a_0 x=(a_klambda^k+cdots+a_0)x=p(lambda)x
]
反过来，如果 (mu) 是 (p(A)) 的一个特征值，那么 (p(A)-mu I) 是奇异的。由于 (p(t)) 的次数 (kgeqslant 1)，故而多项式 (q(t)=p(t)-mu) 的次数 (k geqslant 1)，我们就可以将它分解成 (q(t)=(t-eta_1)cdots(t-eta_k)) （对某些复数或者实数 (eta_1,cdots,eta_k)）. 由于 (p(A)-mu I=q(A)=(A-eta_1 I)cdots (A-eta_k I)) 是奇异的，故而它的某个因子 (A-eta_j I) 是奇异的，这就意味着 (eta_j) 是 (A) 的特征值。但是 (0=q(eta_j)=p(eta_j)-mu)，所以有 (mu=p(eta_j)).
这个性质非常重要，比如，如果 (sigma(A)={-1,1})，那么我们立马可以断定 (sigma(A^2)={1}). 但是对于特征向量不一样，考虑矩阵 (A=egin{bmatrix} 0&1 \ 0&0end{bmatrix})，显然 ((0, e_1)) 是 (A) 和 (A^2) 的特征对，(e_2) 是 (A^2) 的特征向量却不是 (A) 的特征向量，这也就是定理逆命题部分只提到了 (p(A)) 特征值的原因。
几个重要性质
**证明：** 矩阵 $A$ 是奇异的，当且仅当对某个 $x
eq 0$ 有 $Ax=0$. 而这当且仅当对某个 $x
eq 0$ 有 $Ax = 0x$，也就是当且仅当 $lambda =0 $ 是 $A$ 的特征值时才发生。
**证明：** 如果 $lambda in sigma(A)$，则存在一个非零向量 $x$，使得 $Ax=lambda x$，从而 $(A+mu I)x=Ax+mu x=lambda x+ mu x=(lambda+mu)x$. 于是 $lambda + mu in sigma(A+mu I)$. 反过来，如果 $lambda + mu in sigma(A+mu I)$，则存在非零向量 $y$，使得 $Ay+mu y=(A+mu I)y=(lambda+mu)y=lambda y+mu y$. 于是 $Ay=lambda y$, 从而 $lambda in sigma(A)$.
**证明：** 设 $m$ 是使得向量 $y,Ay,A^2 y,cdots,A^k y$ **线性相关的最小整数** $k$. 那么有 $m geqslant 1$（由于 $y
eq 0$），且有 $m leqslant n$（由于 $mathbb{C}^n$ 中任意 $n+1$ 个向量都是线性相关的）。设 $a_0,a_1,cdots,a_m$ 是不完全为零的纯量，它们使得
egin{align}
a_mA^my+a_{m-1}A^{m-1}y+cdots+a_1Ay+a_0y=0
label{aaa}
end{align}
如果 $a_m=0$，那么式
ef{aaa} 蕴含向量 $y,Ay,A^2 y,cdots,A^k y$ 线性相关，这与 $m$ 的最小性矛盾，于是 $a_m
eq 0$，我们可以考虑多项式 $p(t)=t^m+(a_{m-1}/a_m)t^{m-1}+cdots+(a_1/a_m)t+(a_0/a_m)$. 恒等式
ef{aaa} 确保 $p(A)y=0$，所以 $(0,y)$ 是 $p(A)$ 的一个特征对，定理 $1.1$ 就确保 $p(t)$ 的 $m$ 个零点中有一个是 $A$ 的特征值。
假设 $lambda$ 是 $p(t)$ 的一个零点，它是 $A$ 的一个特征值，分解 $p(t)=(t-lambda)g(t)$，其中 $g(t)$ 是一个 $m-1$ 次多项式。如果 $g(A)y=0$，则 $m$ 的最小性再次出现矛盾，所以 $g(A)y
eq 0$。但是 $0=p(A)y=(A-lambda I)(g(A)y)$，所以非零向量 $g(A)y$ 是 $A$ 的一个与特征值 $lambda$ 相伴的特征向量。
上述定理表明了**每个复矩阵都有非空的谱**，对给定的 $Ain M_n$ 可以求得一个次数最多为 $n$ 的多项式，它**至少有一个零点**是 $A$ 的特征值。
读完应该知道什么
- 特征向量必须非零，而特征值无此要求
- 如果 ((lambda, x)) 是 (A in M_n) 的一个特征对，那么 ((p(lambda) , x)) 就是 (p(A)) 的一个特征对. 反过来，如果 (k geqslant 1) 且 (mu) 是 (p(A)) 的一个特征值，那么就存在 (A) 的某个特征值 (lambda) 使得 (mu = p(lambda)). 此时对特征向量不成立
- 矩阵 (A in M_n) 是奇异的，当且仅当 (0 in sigma(A))
- 设给定 (A in M_n) 以及 (lambda, mu in mathbb{C}). 那么，(lambda in sigma(A)) 当且仅当 (lambda + mu in sigma(A+mu I))
- 每个复矩阵都有非空的谱
- 给定的 (Ain M_n) 可以求得一个次数最多为 (n) 的多项式，它至少有一个零点是 (A) 的特征值
写在最后的话
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