《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第十章“算法设计技巧”——跳表

2014.07.07 22:03

简介：

　　跳表（skip list）是一种随机化的有序数据结构。从形状上来看，长得比较像分层索引。能够在接近对数级别的时间内完成增、删、改、查操作。

　　你姑且可以认为这种数据结构的用途、用法都和平衡树很相似，但内部的实现原理则完全不同。

图示：

　　下面是一条有序的单链表：

　　

　　如果你要查找某一个整数，必然需要O(n)级别的时间去搜索链表。

　　但如果从这个链表抽取几个元素，然后在上面加上一层呢，比如这样：

　　

　　上面的双层链表的上层是通过从下层抽取一部分元素得到的。并且上下之间也存在指针链接，允许由上至下、由左至右的遍历。

　　这么做有什么用呢？我们先继续看看这个：

　　

　　我们可以像这样，从每一层选出部分元素，在正上方组成新的一层，这样就能够形成一个看起来不整齐的多层链表。

　　这个图形很不规则，我们来考虑一个规则的情况：如果这个多层链表恰好有5层，每层元素个数分别为1,2,4,8,16。那么查找任意一个元素是不是能够在对数时间内完成呢？

　　答案当然是可以。因为多层索引的代表结构——B+树就是这种形状规则而且有序的分层结构。稳定的对数级别的操作时间就是它们的最大优势。

　　

　　跳表使用另一种思维方式来构造一个类似的分层结构，但是因为包含了随机数而导致形状没那么“规则”，所以效率接近对数级别，但不稳定。

　　刚才我们的描述方式是一层一层地构建了这个多层链表，而正确的理解方式应该是——一个一个地插入节点。关键在于每个插入的节点有可能只插入一层，也有可能插入多层。

　　下面是一个空的跳表：

　　

　　其中begin表示一个实际的节点，尽管其中的数据没有意义，我们需要它的指针进行移动。end则可以用空指针NULL来代表，表示链表尾。

　　下面如果我们要插入一个整数34，并且插入的高度是3层，结果将是这样：

　　

　　如此一来有了3个34。接下来我们再插入5，插入1层：

　　

　　那么插入的规则是怎么定的呢？比如将元素x插入到第k层？

　　如果我们将最底层定义为1层，那么x元素将被插入到1~k的所有层中。

　　当你从跳表的左端顶部的begin节点出发时，在每一层你都只能至多向右或向下走一步。

　　由于每一层的链表都是有序的，所以插入元素时每一层的操作就和有序单链表的操作一样了。

　　于是我们从第k层开始插入，完成后下降到k-1层，逐层插入直到最底层。

　　下面我们再插入元素7，高度为2：

　　

　　那么，每个元素插入的高度怎么决定呢？随机定就行了。此处“随机”的方法，指的是抛硬币。

　　如果每次有50%的概率抛出正面，那么我们就一直抛硬币，抛出正面为止，看看到底要抛多少次。将抛硬币的次数作为高度（至少抛一次，所以高度至少为1）。

　　这样的随机方法严格服从于p=0.5的几何分布。因此期望高度为2，虽然偶尔也能出现很高的层数。

　　那么，这种多层的结构并不是严格的二分查找，为何它的基本操作的效率接近对数级呢？

　　　　1. 越是在高层，移动一步就能跨过越多的元素，步子越大速度越快

　　　　2. 分析一下几何分布的分布列，此处从概率上是符合二分规律的，因此“接近对数”是有理论支持的

　　

　　教材上对于跳表的评价是：一种平衡树的替代品，实现简便，效率不错。

　　亲自实现之后，发现跳表虽然也没那么简单，但的确比AVL树简单多了。也许我们基本不需要亲自写这些结构，但至少应该了解这种随机化的数据结构为何如此巧妙。

　　

　　在我的印象里，这本书的第十章尽管充满了精华知识，在我大二的数据结构课程里，老师却几乎只字未提。

　　就我们学校而言，计算机教育实在是囫囵吞枣。课程好几十门，没有一门深入过。难怪我现在复习这本教材几乎等于重新学习。

　　呵呵的是教育，惭愧的是自己。你区区一个本科生，既然什么都不会就别拽了。赶紧学习吧。

　　（跳表还可以进一步优化为确定性跳表，不过那部分我已经无力研究了，饶了我吧）

实现：

// My implementation for skip list.
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

template <class TKey>
struct ListNode {
    TKey *key;
    ListNode *down;
    ListNode *next;
    
    ListNode(): key(nullptr), down(nullptr), next(nullptr) {}
};

template <class TKey>
class SkipList {
public:
    SkipList() {
        m_root = new ListNode<TKey>();
        m_size = 0;
        m_level = 0;
    }
    
    bool contains(const TKey &key) {
        if (m_size == 0) {
            return false;
        }
        
        ListNode<TKey> *ptr = m_root;
        while (true) {
            if (ptr->next != nullptr) {
                if (key < *(ptr->next->key)) {
                    if (ptr->down != nullptr) {
                        ptr = ptr->down;
                    } else {
                        return false;
                    }
                } else if (key > *(ptr->next->key)) {
                    ptr = ptr->next;
                } else {
                    return true;
                }
            } else {
                if (ptr->down != nullptr) {
                    ptr = ptr->down;
                } else {
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    
    void insert(const TKey &key) {
        if (contains(key)) {
            return;
        }
        
        ListNode<TKey> *ptr;
        int new_level = _randomLevel();
        
        if (new_level > m_level) {
            // Extra levels need to be added.
            for (int i = m_level; i < new_level; ++i) {
                ptr = new ListNode<TKey>();
                ptr->down = m_root;
                m_root = ptr;
            }
            m_level = new_level;
        }
        
        int lvl = m_level;
        ListNode<TKey> *last, *cur;
        
        ptr = m_root;
        last = cur = nullptr;
        while (true) {
            if (ptr->next != nullptr) {
                if (key < *(ptr->next->key)) {
                    if (lvl <= new_level) {
                        cur = new ListNode<TKey>();
                        if (last == nullptr) {
                            cur->key = new TKey(key);
                        } else {
                            cur->key = last->key;
                            last->down = cur;
                        }
                        last = cur;
                        cur->next = ptr->next;
                        ptr->next = cur;
                    }
                    
                    if (ptr->down != nullptr) {
                        ptr = ptr->down;
                        --lvl;
                    } else {
                        break;
                    }
                } else if (key > *(ptr->next->key)) {
                    ptr = ptr->next;
                } else {
                    break;
                }
            } else {
                if (lvl <= new_level) {
                    cur = new ListNode<TKey>();
                    if (last == nullptr) {
                        cur->key = new TKey(key);
                    } else {
                        cur->key = last->key;
                        last->down = cur;
                    }
                    last = cur;
                    cur->next = ptr->next;
                    ptr->next = cur;
                }
                
                if (ptr->down != nullptr) {
                    ptr = ptr->down;
                    --lvl;
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
        ++m_size;
    }
    
    void erase(const TKey &key) {
        if (!contains(key)) {
            return;
        }
        
        ListNode<TKey> *ptr = m_root;
        ListNode<TKey> *cur;
        while (true) {
            if (ptr->next != nullptr) {
                if (key < *(ptr->next->key)) {
                    if (ptr->down != nullptr) {
                        ptr = ptr->down;
                    } else {
                        break;
                    }
                } else if (key > *(ptr->next->key)) {
                    ptr = ptr->next;
                } else {
                    cur = ptr->next;
                    ptr->next = cur->next;
                    if (ptr->down != nullptr) {
                        delete cur;
                        ptr = ptr->down;
                    } else {
                        delete cur->key;
                        delete cur;
                        break;
                    }
                }
            } else {
                if (ptr->down != nullptr) {
                    ptr = ptr->down;
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
        --m_size;

        ptr = m_root;
        while (ptr->next == nullptr) {
            // Empty levels are removed.
            if (ptr->down == nullptr) {
                break;
            } else {
                m_root = m_root->down;
                delete ptr;
                ptr = m_root;
                --m_level;
            }
        }
    }
    
    size_t size() {
        return m_size;
    }
    
    void clear() {
        _clearUp();
        
        m_root = new ListNode<TKey>();
        m_size = 0;
        m_level = 0;
    }

    void debugPrint() {
        ListNode<TKey> *p1, *p2;

        cout << '{' << endl;
        p1 = m_root;
        while (p1 != nullptr) {
            p2 = p1->next;
            cout << "    ";
            while (p2 != nullptr) {
                cout << *(p2->key) << ' ';
                p2 = p2->next;
            }
            cout << endl;
            p1 = p1->down;
        }
        cout << '}' << endl;
    }

    ~SkipList() {
        _clearUp();
    }
private:
    int m_level;
    int m_size;
    ListNode<TKey> *m_root;
    
    void _clearUp() {
        ListNode<TKey> *head = m_root;
        ListNode<TKey> *p1, *p2;
        
        while (head != nullptr) {
            p1 = head;
            head = head->down;
            while (p1 != nullptr) {
                p2 = p1->next;
                if (p1->key != nullptr && p1->down == nullptr) {
                    delete p1->key;
                }
                delete p1;
                p1 = p2;
            }
        }
    }
    
    int _randomLevel() {
        int level = 0;
        
        while (rand() & 1) {
            ++level;
        }
        
        return level;
    }
};

int main()
{
    srand((unsigned int)time(nullptr));
    string s;
    SkipList<int> sl;
    int key;
    
    while (cin >> s) {
        if (s == "i") {
            cin >> key;
            sl.insert(key);
        }  else if (s == "c") {
            cin >> key;
            cout << (sl.contains(key) ? "Yes" : "No") << endl;
        } else if (s == "e") {
            cin >> key;
            sl.erase(key);
        } else if (s == "cl") {
            sl.clear();
        }
        sl.debugPrint();
    }
    sl.clear();
    
    return 0;
}