LCS（Longest Common Subsequence 最长公共子序列）

最长公共子序列

英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的

应用

最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

动态规划

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

设一个C[i,j]: 保存X_i与Y_j的LCS的长度。

递推方程为：

代码亲测:

#include <bits/stdc++.h>
const int MAX=1010;
char x[MAX];
char y[MAX];
int DP[MAX][MAX];
int b[MAX][MAX];
using namespace std;

int PRINT_LCS(int b[][MAX],char *x,int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)
        return 1;
    if(b[i][j]==1)
    {
        PRINT_LCS(b,x,i-1,j-1);
        cout<<x[i]<<" ";
    }
    else if(b[i][j]==2)
    {
        PRINT_LCS(b,x,i-1,j);
    }
    else if(b[i][j]==3)
    {
        PRINT_LCS(b,x,i,j-1);
    }

}
int main()
{
    int T;
    int n,m,i,j;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        while(cin>>n>>m)
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)
                cin>>x[i];
            for(int j=1; j<=m; j++)
                cin>>y[j];
            memset(DP,0,sizeof(DP));
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                for(j=1; j<=m; j++)
                {
                    if(x[i]==y[j])
                    {
                        DP[i][j]=DP[i-1][j-1]+1;
                        b[i][j]=1;
                    }

                    else if(DP[i-1][j]>=DP[i][j-1])
                    {
                        DP[i][j]=DP[i-1][j];
                        b[i][j]=2;
                    }
                    else
                    {
                        DP[i][j]=DP[i][j-1];//Max(DP[i-1][j],DP[i][j-1]);
                        b[i][j]=3;
                    }
                }
            }
            cout<<DP[n][m]<<endl;
            PRINT_LCS(b,x,n,m);
            cout<<endl;
        }
    }
    return 0;
}