分治法

原理

将问题分解为几个规模较小但类似于原问题的子问题，递归求解这些子问题，然后合并这些子问题的解来建立原问题的解

分治模式在每层递归时，都有三个步骤：
1. 分解原问题为若干子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例。
2. 解决这些子问题，递归地求解各个子问题。如果子问题规模足够小，直接求解
3. 合并子问题的解为原问题的解

归并排序

以归并排序为例，归并排序的操作如下：
分解：分解待排序的n个元素的序列为具有n/2个元素的两个子序列
解决：使用归并排序递归地排序两个子序列
合并：合并两个已排序的子序列以产生已排序的答案
当待排序的序列长度为1时，递归开始回升，在这种情况下不要做任何工作，因为长度为1的序列已排序好了

void mergeArr(int* arr, int startIdx, int mid, int endIdx)
{
    int n1 = mid - startIdx;
    int n2 = endIdx - mid;

    // 用两个临时数组，保存要合并数组的值
    int* a1 = new int[n1];
    int* a2 = new int[n2];

    for (int i = 0; i < n1; i++)
    {
        a1[i] = arr[startIdx+i];
    }
    for (int i = 0; i < n2; i++)
    {
        a2[i] = arr[mid+i];
    }

    // 按照从小到大的顺序，合并两个数组的值
    int len = n1 + n2;
    int i = 0, j = 0;
    for (int k = startIdx; k < endIdx; k++)
    {
        if (j == n2)
        {
            arr[k] = a1[i++];
        }
        else if (i == n1 || a1[i] > a2[j])
        {
            arr[k] = a2[j++];
        }
        else
        {
            arr[k] = a1[i++];
        }
    }

    delete[] a1;
    delete[] a2;
}

// arr表示待排序的数组，startIdx,endIdx分别表示数组中元素的索引，前闭后开区间
void merge_sort(int* arr, int startIdx, int endIdx)
{
    if (endIdx - startIdx == 1)
    {
        return;
    }

    // 分解
    int mid = (startIdx+endIdx) >> 1;
    merge_sort(arr, startIdx, mid);
    merge_sort(arr, mid, endIdx);
    // 合并
    mergeArr(arr, startIdx, mid, endIdx);
}

 

最大子数组问题

以茅台股票的股价走势日线图为例，如下图。假如我们能够穿越时空，回到过去，给你足够买一手茅台的钱，只买卖一次，你怎样可以实现最大化收益。

茅台一个月的收盘价：[644.79, 671.49, 667.7, 670.21, 660.3, 687.3, 681.0, 685.85, 680.4, 659.19, 666.21, 675.04, 657.79, 644.0, 650.97, 644.8, 646.0, 630.0, 631.98, 642.9, 645.81, 666.7, 681.42]

一种方法是暴力求解：尝试每对可能的买进和卖出组合，只要卖出日期在买入日期之后即可。n天时间的组合有 n+n-1+n-2+...+1 = O(n^2) 种。

下面使用分治法来求解。

首先变化一下思路，我们将股价每天的变化值列出来，得到一个新的数组：

[26.7, -3.79, 2.51, -9.91, 27.0, -6.3, 4.85, -5.45, -21.21, 7.02, 8.83, -17.25, -13.79, 6.97, -6.17, 1.2, -16.0, 1.98, 10.92, 2.91, 20.89, 14.72]

这样我们原来的问题就转化成：寻找A中最大的非空连续子数组。

分治法三步骤：分解，解决，合并

先把数组分解，假定我们寻找子数组A[low...high]的最大子数组。我们可以找到子数组中央位置mid，然后求解两个子数组A[low...mid]和A[mid+1...high]

A[low...high]的任何连续子数组A[i...j]所处位置有三种情况：

1. 完全位于A[low...mid]中, low <= i <= j <= mid

2. 完全位于A[mid+1...high]中, mid < i <= j <= high

3. 跨越了中点，low <= i <= mid < j <= high

1和2两种情况是原问题的子问题，第3中情况，可以由两个子数组 A[i...mid] 和 A[mid+1...j] 组成。我们只需要找出形如 A[i...mid] 和 A[mid+1...j] 的最大子数组，然后合并就可以了。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

double cross_subarray(double* arr, int low, int mid, int high, int& left, int& right)
{
    // 左边的最大子数组，arr[mid]肯定被选中
    double leftsum = arr[mid] - 1;
    double sum = 0;

    for (int i = mid; i >= low; i--)
    {
        sum += arr[i];
        if (sum > leftsum)
        {
            leftsum = sum;
            left = i;
        }
    }

    // 右边的最大子数组，arr[mid]肯定被选中
    double rightsum = arr[mid] - 1;
    sum = 0;
    for (int i = mid; i <= high; i++)
    {
        sum += arr[i];
        if (sum > rightsum)
        {
            rightsum = sum;
            right = i;
        }
    }

    // arr[mid]被计算了两次，减去一次
    return leftsum + rightsum - arr[mid];
}

double max_sub_array(double* arr, int low, int high, int& left, int& right)
{
    if (low == high)
    {
        left = right = low;
        return arr[low];
    }
    else
    {
        int mid = (low + high) >> 1;
        int left_low, left_high, right_low, right_high, cross_low, cross_high;
        double left_sum = max_sub_array(arr, low, mid, left_low, left_high);
        double right_sum = max_sub_array(arr, mid+1, high, right_low, right_high);
        double cross_sum = cross_subarray(arr, low, mid, high, cross_low, cross_high);

        if (left_sum >= right_sum && left_sum >= cross_sum)
        {
            left = left_low;
            right = left_high;
            return left_sum;
        }
        else if (right_sum >= left_sum && right_sum >= cross_sum)
        {
            left = right_low;
            right = right_high;
            return right_sum;
        }
        else
        {
            left = cross_low;
            right = cross_high;
            return cross_sum;
        }
    }
}

int main()
{
    double arr[] = {26.7, -3.79, 2.51, -9.91, 27.0, -6.3, 4.85, -5.45, -21.21, 7.02, 8.83, -17.25, -13.79, 6.97, -6.17, 1.2, -16.0, 1.98, 10.92, 2.91, 20.89, 14.72};
    int len = sizeof(arr) / sizeof(double);

    int left, right;
    double sum = max_sub_array(arr, 0, len-1, left, right);

    printf("%d, %d, %lf
", left, right, sum);
    for (int i = left; i <= right; ++i)
    {
        printf("%lf ", arr[i]);
    }
    printf("
");

    return 0;
}

 

打印结果：

17, 21, 51.420000 
1.980000 10.920000 2.910000 20.890000 14.720000

如果能往前回几天，可以在9.13号买，今天卖的话，一股赚51.42,一手赚5142

如果能往前回几年，那就无脑买吧，因为茅台的股价走势是这样的：

哈哈，我真能幻想